Prova Scritta - Algebra e Geometria

10-07-2001 - A.A. 2002-2003 - Prof. A. Gimigliano

Sostituire ai parametri b e a rispettivamente l'ultima e la penultima cifra del proprio numero di matricola (ad es. numero 63571; a = 7, b = 1). Rispondere sintetizzando le motivazioni dei risultati ottenuti (es. indicare se usate un determinante, e quale, o Gauss nel calcolo di un rango; riportate alcuni passaggi essenziali).

1) In uno spazio eulideo E³ siano date le rette r, s di equazioni:

r:		(a + 1)y + (b + 1)z = 0	s:		(10 - a)x +(10 - b)y - z = 0
		y = t			y + tz = 0

a) Determinare, al variare di t R, se r sia mai parallela ad s e se e quando r ed s siano incidenti.

b) Si trovino eventuali valori di t per cui r ed s siano ortogonali (non necessariamente incidenti).

1.a)

Calcoliamo parametri direttori delle rette r e s:

lr =

det

B

C

=

det

a + 1

b + 1

= - (b + 1)

B'

C'

1

0

mr =

- det

A

C

=

det -

0

b + 1

= 0

A'

C'

0

0

nr =

det

A

B

=

det

0

a + 1

= 0

A'

B'

0

1

Analogamente per la retta s avremo:

ls =

det

B

C

=

det

10 - b

-1

= (10 - b)t  + 1

B'

C'

1

t

ms =

- det

A

C

=

det -

10 - a

-1

= (a - 10)t

A'

C'

0

t

ns =

det

A

B

=

det

10 - a

10 - b

= 10 - a

A'

B'

0

1

Il vettore direttore della retta s è v_s =( (10 - b)t + 1, (a - 10)t, 10 - a ) .

Per verificare se r e s sono parallele vediamo se e per quali valori di t il prodotto vettoriale tra v_r e v_s è nullo:

vr vs =	det							=  (0, (10-a)(b+1),-(b+1)(a-10))
			- (b + 1)	0	0
			(10 - b)t+1	a - 10	10 - a

 Quindi si ha parallelismo per:

v_r v_s = (0,  (10-a)(b+1),-(b+1)(a-10)) = (0, 0, 0).

Mettiamo a sistema le equazioni della retta r e s e verifichiamo se ed in che punto si intersecano:

	(a + 1)y + (b + 1)z = 0		(a + 1)t + (b + 1)z = 0		E' facile vedere che per   t=0
	y = t		y = t		si ha una soluzione per
	(10 - a)x +(10 - b)y - z = 0		(10 - a)x +(10 - b)t - z = 0		(x,y,z) = (0,0,0) .
	y + tz = 0		t+ tz = 0		Se invece  t  non è 0, allora

	(a + 1)t + (b + 1) = 0
	y = t
	(10 - a)x +(10 - b)t +1= 0
	z = -1

	t =(b + 1)/ (a + 1)		(10 - a)x +(10 - b)[(b + 1)/(a + 1)] + 1= 0
	y = t		y = t
	(10 - a)x +(10 - b)t + 1= 0		t =(b + 1)/ (a + 1)
	z = -1		z = -1

	x =  [( b - 10)(b + 1)/(10 - a)(a + 1)] - 1/(10 - a)
	y = t
	z = -1
	t =(b + 1)/ (a + 1)

Pertanto r e s sono incidenti nel punto: (che ha senso perché  a ≠ 10, -1)

1.b)

Affinchè r e s siano ortogonali deve annullarsi il prodotto scalare dei rispettivi vettori direttori:

v_r v_s = (-(b + 1), 0, 0) ( (10 - b)t + 1, (a - 10)t, 10 - a) = 0

-(b + 1)[(10 - b)t + 1] = 0 (b + 1)[(10 - b)t + 1] = 0 t = -1/(10 - b)

(sappiamo che   b≠ 10)

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