Scriviamo il sistema lineare formato dalle equazioni dei due piani π e π':

	Ax + By + Cz + D = 0
	A'x + B'y + C'z + D' = 0

e chiamiamo:

A

B

C

A

B

C

-D

le matrici dei coefficenti.

M =

,

M'=

A'

B'

C'

A'

B'

C'

-D'

E' chiaro allora che si ha:

1 rg(M) rg(M') 2

()

Pertanto vi sono soltanto due casi possibili per il rg(M):

1) rg(M) = 1

In questo caso dalla disuguaglianza () si hanno due casi possibili:

1.a) rg(M) = rg(M') = 1 π = π', infatti le equazioni dei due piani sono proporzionali.

1.b) rg(M') = 2 e rg(M) = 1 π e π' sono paralleli e non coincidenti (π π = ø), infatti il sistema non ha soluzioni.

2) rg(M) = 2, allora per la disuguaglianza () avremo rg(M) = r(M') = 2 che per il teorema di Rouchè-Capelli equivale a dire che il sistema considerato sopra possiede soluzioni dunque:

rg(M) = 2

π e π' si intersecano in una retta

ciò prova il punto (2), e il teorema è dimostrato.

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