Esercizio 2
Si consideri nello spazio la retta r congiungente i punti A = (1, 0, -1), B = (0, 1, -2).
a) Scrivere le equazioni parametriche e le equazioni cartesiane della retta r.
b) Verificare che il punto P = (1, -1, 1) non appertenga ad r e scrivere le equazioni della retta s passante per P e parallela a r.
c) Scrivere l'equazione del piano π passante per P e perpendicolare a r.
Soluzione a)
Calcoliamo il vettore direttore della retta r:
| vr = (xA - xB, yA - yB, zA - zB) = (1, -1, 1) | e poi l'equazione parametrica di r: |
 |
x = 1 + t | |
| y = -t | e ora ci ricaviamo il parametro t e scriviamo le cartesiane |
|
| z = -1 + t |
|
t = x - 1 | |
t = x - 1 | |
y = -x + 1 |
| y = -t | y = - x + 1 | z = x - 2 | |||
| z = -1 + t | z = -1+ x - 1 |
Soluzione b)
P = (1, -1, 1) non appartiene ad r perchè se sostituiamo le sue coordinate nell'equazione parametrica (o cartesiana) di r vediamo che le uguaglianze non sono verificate, infatti:
|
y = -x + 1 | |
-1 = 1 + 2 | impossibile!! | ||
| z = x - 2 | 1 = 1 - 2 |
La retta s per essere parallela ad r avrà come vettore direttore lo stesso (o un multiplo) di quello di r, quindi preso vs= (1, -1, 1):
|
x = 1 + t |
| y = -1 - t | |
| z = 1 + t |
Soluzione c)
Scriviamo l'equazione generica di un piano passante per un punto P = (1, -1, 1)
| π: | A(x - 1) + B(y + 1)+ C(z - 1)= 0  Ax + By + Cz -A + B - C = 0 |
Sappiamo che il vettore (A, B, C) è perpendicolare al piano π, quindi possiamo sostituire a questo direttamente il vettore direttore della retta r:
| π: | x - y + z - 1 -1 - 1 = 0 x - y + z - 3 = 0 |
