Esempi

1.
Data la base canonica $\mathcal{E}$ su $\mathbf{C}^3$ e la forma hermitiana $h$ definita da

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & -i\\ 0 & -1 & i+5\\ i & -i+5 & 0 \end{array}, \end{displaymath}

vogliamo calcolare il sottospazio ortogonale a $\mathbf{v}=(2,i,0)$.
Determiniamo le soluzioni del sistema omogeneo:

\begin{displaymath}\begin{array}({ccc}) 2 & i & 0 \end{array} \begin{array}({... ...\overline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{array}=0, \end{displaymath}

equivalente all'equazione:
$4\overline{x}+(5-2i)\overline{y}+(3i-1)\overline{z}=0$.
Quindi lo spazio cercato è:
$\mathbf{v}^{\perp}=\mathbf{W}:=\{ (x,y,z)\in\mathbf{C}^3 \, \vert \, 4\overline{x}+(5-2i)\overline{y}+(3i-1)\overline{z}=0 \}$.
Tale sottospazio ortogonale si potrà meglio scrivere come:
$\mathbf{W}:=\{ (x,y,z)\in\mathbf{C}^3 \, \vert \, 4x+(5+2i)y+(-3i-1)z=0 \}$.

2.
Sia $h:\mathbf{C}^2\times\mathbf{C}^2\rightarrow\mathbf{C}$ una forma hermitiana definita da

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{E})= \begin{array}({cc}) -1 & 3+i\\ 3-i & 2 \end{array}, \end{displaymath}

ove $\mathcal{E}$ è la base canonica; allora per trovare una base diagonalizzante si procede in modo analogo al caso reale, quindi prendiamo un vettore non isotropo, ad esempio, $\mathbf{v}_{1}=(1,0)$ e calcoliamo:
$\mathbf{v}_{1}=\{ (x,y) \in \mathbf{C}^2 \vert \begin{array}({cc}) 1 & 0 \e... ...end{array} \begin{array}({c}) \overline{x}\\ \overline{y} \end{array}=0 \}$.
L'equazione che risolve il sistema è: $\overline{x}=(3+i)\overline{y}$, quindi
$\mathbf{v}_{1}^{\perp}:=<(3-i,1)>$;
allora una base diagonalizzante per $h$ è $\mathcal{B}=((1,0),(3-i,1))$, infatti si ottiene

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{B})= \begin{array}({cc}) -1 & 0\\ 0 & 10 \end{array}. \end{displaymath}