Esercizi

Data la forma hermitiana $h:\mathbf{C}^3\times\mathbf{C}^3\rightarrow\mathbf{C}$ tale che rispetto alla base canonica risulta

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 0 & 2i & 2\\ -2i & -1 & 1-i\\ 2 & 1+i & 3 \end{array}. \end{displaymath}

a)
Determinare un vettore $\mathbf{w}$ perpendicolare a $\mathbf{v}=(i,0,-1)$.
b)
Trovare una base diagonalizzante per $h$.

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Punto a)
Basta determinare $\mathbf{W}=\mathbf{v}^{\perp}$ e scegliere un vettore che appartenga a questo sottospazio:
$\mathbf{W}=\{ (x,y,z) \in \mathbf{C}^3 \vert \begin{array}({ccc}) i & 0 & -1... ...n{array}({c}) \overline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{array}=0 \}$.
L'equazione che risolve il sistema è:
$-2\overline{x}+(-3-i)\overline{y}+(2i-3)\overline{z}=0$,
quindi per $\, \overline{z}=0, \, \overline{y}=2, \, \overline{x}=-3+i$ otteniamo un vettore
$\overline{\mathbf{w}}=(-3-i,2,0)$ tale che $\mathbf{w}=(-3+i,2,0)\in \mathbf{v}^{\perp}$.
Punto b)  
Prendiamo come primo vettore non isotropo della base diagonalizzante $\mathbf{v}_{1}=(0,1,0)$ poiché $\,h(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1})=-1\neq 0$, allora risolviamo il sistema

\begin{displaymath}\begin{array}({ccc}) 0 & 1 & 0 \end{array} \begin{array}(... ...verline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{array}=0, \end{displaymath}

da cui otteniamo l'equazione $-2i\overline{x}-\overline{y}+(1-i)\overline{z}=0$; quindi
$\mathbf{v}_{1}^{\perp}:=<(1,2i,0),(0,1+i,1)>$.
Ora poniamo $\mathbf{v}_{2}=(1,2i,0)$, quindi calcoliamo il sottospazio ortogonale relativo al secondo vettore:

\begin{displaymath}\begin{array}({ccc}) 1 & 2i & 0 \end{array} \begin{array}... ...verline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{array}=0 , \end{displaymath}

che è equivalente all'equazione $4\overline{x}+(4+2i)\overline{z}=0$.
L'intersezione dei due sottospazi ortogonali fornisce le coordinate del terzo vettore della base, cioè se risolviamo il sistema

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} -2i\overline{x}-\overline{y}+(1-i)\... ...\\ 4\overline{x}+(4+2i)\overline{z}=0 \end{array}\right. , \end{displaymath}

una soluzione è $\,\overline{z}=-2, \,\overline{y}=-2i, \, \overline{x}=2+i$; quindi $\mathbf{v}_{3}=(2-i,2i,-2)$.
Una base diagonalizzante per $h$ sarà $\mathcal{B}=((0,1,0),(1,2i,0),(2-i,2i,-2))$; infatti svolgendo i calcoli si trova che

\begin{displaymath}Mat(h,\mathcal{B})= \begin{array}({ccc}) -1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}. \end{displaymath}