Esercizi

2.
Data la matrice

\begin{displaymath}A=\begin{array}({ccc}) 1 & k & 4-2i\\ 2 & 2 & -i\\ 2j+k & i & 0 \end{array}, \end{displaymath}

a)
calcolare per quali valori di $j,k$ la matrice è hermitiana.
b)
Dopo aver sostituito i valori trovati in a) e posto $X=(1-i \quad 0 \quad -1), \,\, Y=(2 \quad i \quad 0)$, dimostrare che, $ \forall\alpha \in \mathbf{C}$, vale
$(\alpha X)^{t}A\overline{Y}=\alpha X^{t}A\overline{Y}, \quad X^{t}A(\overline{\alpha Y})=\overline{\alpha} X^{t}A\overline{Y}$.

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Soluzione
Punto a)
Sappiamo che, affinché $A$ sia hermitiana, gli elementi sulla diagonale principale devono essere reali, mentre gli elementi $(i,j)$ devono essere i coniugati di quelli $(j,i)$, quindi poniamo

\begin{displaymath}\left \{ \begin{array}{l} k=2\\ 2j+k=4-2i \end{array} \ri... ...eft \{ \begin{array}{l} k=2\\ j=1-i \end{array} \right. . \end{displaymath}

Punto b)
b)
Sostituendo i valori trovati, otteniamo la matrice

\begin{displaymath}A=\begin{array}({ccc}) 1 & 2 & 4+2i\\ 2 & 2 & -i\\ 4-2i & i & 0 \end{array}, \end{displaymath}

quindi, per $\alpha \in \mathbf{C}$, abbiamo che:
$\alpha X=(\alpha (1-i) \quad 0 \quad -\alpha)$
$\overline{\alpha Y}=(2\overline{\alpha} \quad -i\overline{\alpha} \quad 0)$
allora

\begin{displaymath}(\alpha X)^{t}A\overline{Y}= \begin{array}({ccc}) \alpha (1... ... \end{array} \begin{array}({c}) 2\\ -i\\ 0 \end{array} \end{displaymath}

allora $(\alpha X)^{t}A\overline{Y}=-9 \alpha$, mentre

\begin{displaymath}X^{t}A\overline{Y}= \begin{array}({ccc}) 1-i & 0 & -1 \end... ...nd{array} \begin{array}({c}) 2\\ -i\\ 0 \end{array}=-9 \end{displaymath}

da cui $\alpha X^{t}A\overline{Y}=(1-i)(-9)=-9 \alpha$.

\begin{displaymath}X^{t}A(\overline{\alpha Y})= \begin{array}({ccc}) 1-i & 0 &... ... 2\overline{\alpha}\\ -i\overline{\alpha}\\ 0 \end{array} \end{displaymath}

allora $X^{t}A(\overline{\alpha Y})=-9\overline{\alpha}$, infatti
$\overline{\alpha} X^{t}A\overline{Y}=\overline{\alpha}(-9)=-9\overline{\alpha}$.