Esercizi

2.
Si consideri la base canonica e l'endomorfismo $h$ su $\mathbf{C}^3$ tale che:
$h(\mathbf{e}_{1})=\frac{1}{\sqrt{17}}(4\mathbf{e}_{1},i\mathbf{e}_{2})$,
$h(\mathbf{e}_{2})=\frac{1}{\sqrt{17}}(i\mathbf{e}_{1},4\mathbf{e}_{2})$.
a)
Stabilire se $h$ è unitario verificando se la matrice associata appartiene al gruppo unitario di ordine 2.
b)
Trovare gli autovalori di $h$.
c)
Siano $\lambda, \mu$ autovalori di $h$; è possibile che la proiezione del vettore che genera l'autospazio relativo a $\lambda $ sull'autospazio relativo a $\mu$ sia di norma 1? Perché?
d)
Trovare due basi ortonormali per $\mathbf{C}^3$ rispetto al prodotto hermitiano standard.

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Soluzione
Punto a)
Prendiamo una base ortonormale; per semplicità scegliamo quella canonica. Allora abbiamo

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(h)= \begin{array}({cc}) \frac{4}{\sqrt{17}}... ...}}\\ \frac{i}{\sqrt{17}} & \frac{4}{\sqrt{17}} \end{array} \end{displaymath}

tale che

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E}}(h)(\overline{M_{\mathcal{E}}(h)}^{t})= \begi... ...d{array}= \begin{array}({cc}) 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}. \end{displaymath}

Quindi, poiché la matrice associata di $h$ è unitaria rispetto ad una base ortonormale, $h$ è un endomorfismo unitario.
Punto b)
Troviamo gli autovalori calcolando gli zeri del polinomio caratteristico della matrice associata; posto $M_{\mathcal{E}}(h)=A$, si ha:
$p_{A}(t)=\frac{1}{17}\det \begin{array}({cc}) 4-t & i\\ i & 4-t \end{array} =\frac{1}{17}[(4-t)^2+1]=0$,
le cui soluzioni sono date da $t=4\pm i$, che sono rispettivamente gli autovalori $\lambda, \mu$.
Punto c)
Non è possibile, perché gli autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali fra loro, quindi ogni vettore $\mathbf{v}$ di $\mathbf{H}_{\lambda}$ è perpendicolare a $\mathbf{H}_{\mu}$, perciò si ha $\ll \mathbf{v},\mathbf{w} \gg=0, \quad \forall \mathbf{w}\in\mathbf{H}_{\mu}$.
Quindi la sua proiezione sarà il vettore nullo.
Punto d)
Grazie alle proprietà degli endomorfismi unitari, per calcolare una nuova base ortonormale, basta prenderne una, ad esempio quella canonica, e calcolare $\mathcal{B}=(h(1,0),h(0,1))=(\frac{4}{\sqrt{17}},\frac{i}{\sqrt{17}}),(\frac{i}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}})$.