Esempi

1.
Dato $\mathbf{R}^2$ con il prodotto scalare standard, la base $\mathcal{B}=(\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2})$, ove $\mathbf{b}_{1}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}), \,\mathbf{b}_{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$, è ortonormale, infatti:
$\mathbf{b}_{1} \cdot \mathbf{b}_{1}= \mathbf{b}_{2}\cdot\mathbf{b}_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$,
$\mathbf{b}_{1} \cdot \mathbf{b}_{2}= \mathbf{b}_{2}\cdot\mathbf{b}_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.

2.
ATTENZIONE: se una base è ortonormale rispetto ad un prodotto, questo non implica che sia ancora ortonormale rispetto ad un altro prodotto diverso dal precedente!
Ad esempio, la base canonica non è ortonormale per il prodotto scalare su $\mathbf{R}^2 \quad f((x,y),(x',y'))=2xx'+yy'$.

3.
Consideriamo il prodotto scalare su $\mathbf{R}^2$ così definito:
$f((x,y),(x',y'))= 2xx'+2yy'+xy'+x'y$.
La base $\mathcal{B}=((1,0),(- \frac{1}{2},1))$ è ortogonale; ne vogliamo cercare una ortonormale.
Basterà normalizzare i vettori di $\mathcal{B}$:
$\vert\vert(1,0)\vert\vert=\sqrt{f((1,0),(1,0))}=\sqrt{2}$
$\vert\vert(- \frac{1}{2},1)\vert\vert=\sqrt{f((- \frac{1}{2},1),(- \frac{1}{2},1)}=\sqrt{\frac{3}{2}}$
allora la nuova base ortonormale sarà: $\quad \mathcal{C}=((\frac{1}{\sqrt{2}},0),(- \frac{1}{\sqrt{6}},\sqrt{\frac{2}{3}})$.