Esercizi

2.
Nello spazio euclideo $\mathbf{R}_{4}[x]$ dei polinomi, calcolare la norma di $p(x)=2+x^2$ e la distanza del polinomio da $q(x)=1+2x+x^2$.

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Soluzione
In $\mathbf{R}_{4}[x]$ si procede così :

\begin{displaymath}\vert\vert p(x)\vert\vert= \sqrt{\int_{0}^{1} (p(x))^2 dx}=\sqrt{\int_{0}^{1}(2+x^2)^2dx}= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\sqrt{\int_{0}^{1}(4+4x^2+x^4)dx}=\sqrt{\big[ 4x+\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5 \big]_{0}^{1}}=\frac{9}{\sqrt{15}}, \end{displaymath}

mentre la distanza diventa:

\begin{displaymath}d(p(x),q(x))= \sqrt{\int_{0}^{1} (p(x)-q(x))^2 dx}=\sqrt{\int_{0}^{1}(2x-1)^2dx}= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\sqrt{\int_{0}^{1}(4x^2-4x+1)dx}=\sqrt{\big[ \frac{4}{3}x^3-2x^2+x \big]_{0}^{1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}. \end{displaymath}