Esercizi

2.
Si consideri $\mathbf{R}^3$ con il prodotto scalare standard; allora si verifichi la disuguaglianza di Schwartz prendendo arbitrariamente due coppie di vettori: la prima formata da due vettori linearmente indipendenti, la seconda da due vettori linearmente dipendenti.

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Soluzione
I passo:
Per il primo caso, prendiamo $\mathbf{v}=(2,1,0) \,$ e $\, \mathbf{w}=(3,0,1)$.
Allora al primo membro abbiamo:
$(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})^2=(6+0+0)^2=36$;
mentre al secondo $\quad\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=4+1=5, \quad \mathbf{w}\cdot\mathbf{w}=9+1=10$,
da cui deriva $ 36<5 \cdot 10=50$.
II passo:  
Per il secondo caso, invece, prendiamo due vettori linearmente dipendenti: $\,\, \mathbf{v}=(1,0,-1) \,$ e $\, \mathbf{w}=(3,0,-3)$.
Allora al primo membro abbiamo:
$(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})^2=(3+0+3)^2=36$;
mentre al secondo $\quad\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=1+1=2, \quad \mathbf{w}\cdot\mathbf{w}=9+9=18$,
da cui deriva $ 36=2 \cdot 18$.