Esercizi

2.
Calcolare la segnatura delle seguenti matrici:
$A=\begin{array}({ccc}) 3 & 0 & 1\\ 0 & 3 & -2\\ 1 & -2 & 5 \end{array}, \... ... B=\begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}$.

Vuoi un aiuto?
Per vedere la soluzione totale, clicca , oppure clicca per visualizzare ogni singolo passo della soluzione.

Soluzione
I passo:
Dobbiamo calcolare i polinomi caratteristiche delle matrici, trovare gli autovalori positivi e negativi e contarli con le loro molteplicità:
$p_{A}(t)=(3-t)^2(5-t)-(3-t)-4(3-t)=$
$=(3-t)[15-8t+t^2-1-4]=(3-t)(t^2-8t+10)=0$,
allora $t=3$ e $t=4 \pm \sqrt{6}$ che sono tre autovalori positivi, quindi la segnatura della matrice sarà: (3,0).
II passo:  
$p_{B}(t)=(2-t)(2+t)t+(2+t)-(2-t)=$
$=-t^3+6t=-t(t^2-6)=0$,
allora gli autovalori saranno $t=0, \, t=\pm\sqrt{6}$, cioè uno nullo, uno positivo e uno negativo, quindi la segnatura è: (1,1).