Esercizi

1.
Data la matrice

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqr... ...sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}, \end{displaymath}

a)
può essere la matrice di un endomorfismo unitario?
Se sì , negativo o positivo?
b)
Se prendiamo $A$ come la matrice del prodotto scalare standard "$\cdot$" rispetto ad una base ortonormale, la matrice $M_{\mathcal{E}}(\cdot) \,$ con $\, \mathcal{E}$ base canonica, è ancora la matrice di una isometria?

Vuoi un aiuto?
Per vedere la soluzione totale, clicca , oppure clicca per visualizzare ogni singolo passo della soluzione.

Soluzione
Punto a)
Dall'isomorfismo fra i sottogruppi $(GL(\mathbf{R}^2),\cdot ) \,$ e $\, (GL_{2}(\mathbf{R}),\cdot )$, possiamo dire che $A$ è la matrice di un endomorfismo unitario se è ortogonale, quindi si ha che

\begin{displaymath}A \cdot A^{t}= \begin{array}({ccc}) \frac{1}{\sqrt{2}} & -\... ...}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}=I_{3}, \end{displaymath}

cioè $A$ è la matrice di un endomorfismo unitario.
In particolare, $\det \, A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, quindi $A\in SO(3)$.
Punto b)
Sì , perché l'insieme delle matrici ortogonali $SO(3)$ è un sottospazio vettoriale (perciò chiuso rispetto alla moltiplicazione), quindi il prodotto di matrici ortogonali è ortogonali.