Esercizi

2.
Data la matrice

\begin{displaymath}B=\frac{1}{3}
\begin{array}({ccc})
1 & 2 & k\\
k & 1 & -2\\
2 & -k & 1
\end{array},
\end{displaymath}

per quale valore di $k$ è la matrice di un endomorfismo unitario?

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Soluzione
Troviamo i valori di $k$ per cui la matrice diventa ortogonale:

\begin{displaymath}B\cdot B^{t}=\frac{1}{9}
\begin{array}({ccc})
1 & 2 & k\\ 
...
...2-k\\
2-k & k^2+5 & k-2\\
2-k & k-2 & 5+k^2
\end{array},
\end{displaymath}

quindi poniamo:

\begin{displaymath}\left \{ \begin{array}{l}
2-k=0\\
k^2+5=9
\end{array} \right.
\end{displaymath}

da cui otteniamo che per $k=2$ sono soddisfatte le condizioni richieste.