Esercizi

2.
Si consideri lo spazio euclideo $\mathbf{R}^4$ con il prodotto scalare standard e sia $\mathbf{v}=(-3,0,1,0)$. Allora
a)
il vettore $\mathbf{u}=(2,2,-4,0)$ è perpendicolare a $\mathbf{v}$?
b)
in caso di risposta negativa, calcolare l'angolo compreso fra i due vettori.
c)
calcolare per quali valori di $h$ il vettore $\mathbf{w}=(-h,2h-3,h-2,0)$ è parallelo a $\mathbf{v}$? per quali forma con il vettore un angolo di 45 gradi?

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Soluzione
Punto a)
I due vettori sono perpendicolari se formano un angolo $\theta$ di 90 gradi, cioè se $\cos \theta =0$; ma

\begin{displaymath}\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}=-6-4=-10\neq 0, \end{displaymath}

quindi non sono ortogonali.
Punto b) 
L'angolo $\theta$ risulta:

\begin{displaymath}\theta=\arccos \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{\vert\vert\ma... ...t\vert}=\frac{-10}{\sqrt{10}\sqrt{24}}=\frac{-5}{2\sqrt{15}}. \end{displaymath}

Punto c)
I passo:
Se i due vettori sono paralleli, allora il coseno dell'angolo compreso fra le loro direzioni avrà valore +1 o -1, quindi

\begin{displaymath}\pm 1=\arccos \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\vert\vert\mat... ...t\,\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert},\quad\textrm{ cio\\lq e} \,\, \end{displaymath}


\begin{displaymath}\pm 1=\frac{4h-2}{\sqrt{10}\sqrt{6h^2-16h+13}} \end{displaymath}

che, svolgendo i calcoli, per nessun valore di $h$ dà una identità.
II passo:  
In modo analogo si opera per determinare quando i due vettori formano un angolo di 45 gradi fra loro, sapendo che il coseno di tale angolo sarà $\frac{1}{\sqrt{2}}$:

\begin{displaymath}\textrm{ allora } \,\, \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4h-2}{\sqrt{10}\sqrt{6h^2-16h+13}} \end{displaymath}

da cui, risolvendo l'equazione, si ottiene $h=\frac{32 \pm \sqrt{170}}{14}$.