Esercizi

1.
Si consideri $\mathbf{R}^3$ e sia $f$ la forma bilineare simmetrica definita da:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}. \end{displaymath}

a)
Si dica se $f$ è un prodotto scalare.
b)
Se la risposta è positiva, si consideri lo spazio vettoriale euclideo con questo prodotto scalare e si dica se la base $\mathcal{B}=\{(1,0,1),(0,1,-3),(0,0,1)\}$ è ortonormale; se non lo è, si determini una base ortonormale.

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Soluzione
Punto a)
Per vedere se $f$ è definita positiva, applichiamo il criterio dei minori principali:
$\det \,(2)=2 >0$;
$\det \, \begin{array}({cc}) 2 & 0\\ 0 & 3 \end{array} =6>0$;
$\det \, \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{array}=6-2=4>0$;
quindi $f$ è un prodotto scalare.
Punto b)
I passo:
La base $\mathcal{B}$ non è ortonormale, infatti il primo vettore della base non è un versore:
$f((1,0,1),(1,0,1))= $
$=\begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}({ccc}) 2 & 0 & 0\... ...0 & 1 & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 1\\ 0\\ 1 \end{array}=3 \neq 1$.
II passo:  
Partendo da $\mathcal{B}$, costruiamo una base ortonormale attraverso il procedimento di Gram-Schimdt:
prendiamo il primo vettore della base $v_{1}=(1,0,1)$ e lo normalizziamo dividendo per la sua norma che abbiamo già trovato sopra:
$\mathbf{w}_{1}:= \frac{\mathbf{v}_{1}}{\vert\vert\mathbf{v}_{1}\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,1)$;
$\tilde{\mathbf{w}_{2}}:=\mathbf{v}_{2}-f(\mathbf{v}_{2},\mathbf{w}_{1})\mathbf{w}_{1}=$
$=(0,1,-3)-\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{array}({ccc}) 0 & 1 & -3 \end{array} \beg... ...rray} \begin{array}({c}) 1\\ 0\\ 1 \end{array}\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,1)=$
$=(0,1,-3)+\frac{2}{3}(1,0,1)=\frac{1}{3}(2,3,-7)$,
da cui, poiché
$\vert\vert\tilde{\mathbf{w}_{2}}\vert\vert^2=\frac{1}{9}\begin{array}({ccc}) 2... ... & 1 \end{array} \begin{array}({c}) 2\\ 3\\ -7 \end{array}=\frac{42}{9}$,
si ottiene $\mathbf{w}_{2}:= \frac{\tilde{\mathbf{w}_{2}}}{\vert\vert\tilde{\mathbf{w}_{2}}... ...vert}=\frac{1}{3}(2,3,-7) \cdot \frac{3}{\sqrt{42}}=\frac{1}{\sqrt{42}}(2,3,-7)$;
$\tilde{\mathbf{w}_{3}}:=\mathbf{v}_{3}-f(\mathbf{v}_{3},\mathbf{w}_{1}) \mathbf{w}_{1}-f(\mathbf{v}_{3},\mathbf{w}_{2}) \mathbf{w}_{2} =$
$=(0,0,1)-\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{array}({ccc}) 0 & 0 & 1 \end{array} \begin... ...rray} \begin{array}({c}) 1\\ 0\\ 1 \end{array}\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,1)+$
$-\frac{1}{\sqrt{42}}\begin{array}({ccc}) 0 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}... ...y} \begin{array}({c}) 2\\ 3\\ -7 \end{array}\frac{1}{\sqrt{42}}(2,3,-7)=$
$=(0,0,1)-\frac{1}{3}(1,0,1)+\frac{2}{21}(2,3,-7)=\frac{1}{7}(-1,2,0)$,
da cui, poiché
$\vert\vert\tilde{\mathbf{w}_{3}}\vert\vert^2=\frac{1}{49}\begin{array}({ccc}) ... ...& 1 \end{array} \begin{array}({c}) -1\\ 2\\ 0 \end{array}=\frac{14}{49}$,
si ottiene $\mathbf{w}_{3}:= \frac{\tilde{\mathbf{w}_{3}}}{\vert\vert\tilde{\mathbf{w}_{3}}\vert\vert}=\frac{1}{7}(-1,2,0)\frac{7}{\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{14}}(-1,2,0)$.
La base $\mathcal{C}=(\frac{1}{\sqrt{3}}(1,0,1),\frac{1}{\sqrt{42}}(2,3,-7),\frac{1}{\sqrt{14}}(-1,2,0))$ è la base ortonormale cercata.