Esercizi

2.
Dimostrare che $\mathcal{C}=(\frac{1}{6}(2,-1,0,1),\frac{1}{6}(1,2,1,0),\frac{1}{6}(0,1,-2,1),\frac{1}{6}(-1,0,1,2))$ è una base ortonormale per $\mathbf{R}^4$.

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Soluzione
La base $\mathcal{C}$ è ortonormale se, presa $\mathcal{E}$ base ortonormale con il prodotto scalare standard, la matrice di cambiamento di base
$A=M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^4})\,$ è ortogonale;
cioè se $A^{-1}=A^{t}$, quindi se $A\cdot A^{t}=I_{n}$.
Verifichiamo con i calcoli se ciò avviene:

\begin{displaymath}\frac{1}{6} \begin{array}({cccc}) 2 & 1 & 0 & -1\\ -1 & 2... ...& 0 & 0\\ 0 & 0 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 0 &6 \end{array}=I_{4} \end{displaymath}