Esercizi

2.
Si consideri $\mathbf{V}=\mathbf{R}^{3}, \,\, \mathcal{E}$ la base canonica e

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) 3 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 2\\ -1 & 2 & 0 \end{array}. \end{displaymath}

Sia $f\in Bils(\mathbf{V})$ tale che $Mat(f,\mathcal{E})=A$. Si dica se $f$ ha una base ortogonale, e, in caso di risposta affermativa, si determini una matrice diagonale congruente ad $A$.

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Soluzione
Esiste certamente una base diagonale per $f$, iniziamo a cercarla: prendiamo un vettore $\mathbf{v}_{1}$ non isotropo per $f,\, f(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1}) \neq 0$
poiché $a_{11} =3 \neq 0 \Rightarrow f(\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{1})=3 \quad$ quindi $\mathbf{e}_{1}$ non isotropo.
Scegliamo $\mathbf{v}_{1}=\mathbf{e}_{1}=$(1,0,0).
Sappiamo che $\mathbf{R}^{3}=<\mathbf{v}_{1}> \oplus \, \mathbf{v}_{1}^{\perp}$

\begin{displaymath}\mathbf{v}_{1}^{\perp}= \lbrace (x,y,z) \in \mathbf{R}^{3} \v... ...\begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array} = 0 \rbrace , \end{displaymath}

da cui otteniamo, svolgendo i calcoli, che $\mathbf{v}_{1}^{\perp}:= {3x+y-z=0}$, quindi $\mathbf{v}_{1}^{\perp}=<(1,0,3),(0,1,1)>$.
Adesso, per semplicità, scegliamo un vettore appartenente a $\mathbf{v}_{1}^{\perp}$, ad esempio $\mathbf{v}_{2}=(0,1,1)$ e controlliamo che non sia isotropo: $q(\mathbf{v}_{2})=4\neq0$, quindi procediamo con il nuovo vettore.
$\mathbf{v}_{2}^{\perp}= \lbrace \mathbf{v} \in \mathbf{R}^{3} \vert \mathbf{v} \in \mathbf{v}_{1}^{\perp}, f(\mathbf{v},\mathbf{v}_{2})=0 \rbrace =$
$= \lbrace (x,y,z) \in \mathbf{R}^{3} \vert \begin{array}({ccc}) 0 & 1 & 1\\ \end{array} A \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array} = 0 \rbrace $,
da cui otteniamo $\mathbf{v}_{2}^{\perp}:=y+z=0$.

\begin{displaymath}\mathbf{v}_{2}^{\perp f_{1}}= \lbrace (x,y,z) \in \mathbf{R}^{3}\vert 3x+y-z=0, y+z=0 \rbrace \end{displaymath}

da cui otteniamo $\mathbf{v}_{2}^{\perp }=<(-2,3,-3=)>=<\mathbf{v}_{3}>$. Allora:
$\mathbf{R}^{3}=<\mathbf{v}_{1}> \oplus \, \mathbf{v}_{1}^{\perp} = <\mathbf{v}_... ...}^{\perp} = <\mathbf{v}_{1}> \oplus \, <\mathbf{v}_{2}> \oplus <\mathbf{v}_{3}>$.
Quindi $\mathcal{C}=(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3})=((1,1,0),(0,1,1),(-2,3,-3))$ è una base diagonalizzante per $f$.
In particolare, svolgendo i calcoli, si può verificare che :
$Mat(f,\mathcal{C})=\begin{array}({ccc}) 3 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -48 \end{array}$.