Esercizi

2.
Si considerino le matrici

\begin{displaymath}A= \begin{array}({cccc}) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ ... ...0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -8 \end{array}. \end{displaymath}

Sono $A$ e $B$ congruenti come matrici reali?
Se sì , si determini una matrice $M$ tale che $A=M^{t}BM$.

Vuoi un aiuto?
Per vedere la soluzione totale, clicca , oppure clicca per visualizzare ogni singolo passo della soluzione.

Soluzione
I passo:
Sappiamo che, poiché le matrici diagonali definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative e le indefinite delle varie segnature costituiscono un insieme completo di rappresentanti per le classi di congruenza in $M_{n}^{s}(K)$, due matrici saranno congruenti se apparterranno alla stessa classe, quindi se avranno la stessa segnatura.
In questo caso, sia la segnatura di $A$ che di $B$ è (2,1), quindi le due matrici sono congruenti come matrici reali
(N.B. In $\mathbf{C}$, basta che le due matrici abbiano lo stesso rango).
II passo:  
Cerchiamo la matrice $M$ tale che $A=M^{t}BM$.
Consideriamo $A,B$ come matrici associate ad una forma bilineare simmetrica rispetto a basi diverse, in particolare poniamo:
$A=Mat(f,\mathcal{E}) \,$ dove $\, \mathcal{E}$ è la base canonica;
$B=Mat(f,\mathcal{B}) \,$ dove $\, \mathcal{B}=(\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3},\mathbf{v}_{4})$.
Abbiamo che:
$A=Mat(f,\mathcal{E})$ $B=Mat(f,\mathcal{B})$
$q(\mathbf{e}_{1})=1$ $q(\mathbf{v}_{1})=0$
$q(\mathbf{e}_{2})=0$ $q(\mathbf{v}_{2})=-3$
$q(\mathbf{e}_{3})=-2$ $q(\mathbf{v}_{3})=4$
$q(\mathbf{e}_{4})=-8$ $q(\mathbf{v}_{4})=-7$
Ora, per determinare i $\mathbf{v}_{i}$, basta mettere in corrispondenza i vettori rispetto ai quali $q$ assume lo stesso segno, e poiché vogliamo $\mathbf{v}_{i}=\alpha \mathbf{e}_{i}, \,\, \alpha \in K$, avremo:
  • $q(\mathbf{v}_{1})=0 \quad \Rightarrow \mathbf{v}_{1}=\mathbf{e}_{2}$, infatti se $\mathbf{v}_{1}=\lambda \mathbf{e}_{2}$,
    $0=q(\mathbf{v}_{1})=q(\lambda\mathbf{e}_{2})=\lambda^2 q(\mathbf{e}_{2})=\lambda^2 \cdot 0, \,\, \forall \lambda\in K$;
  • $q(\mathbf{v}_{2})=-3 \quad \Rightarrow \mathbf{v}_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\mathbf{e}_{3}$, infatti se $\mathbf{v}_{2}=\rho \mathbf{e}_{3}$,
    $-3=q(\mathbf{v}_{2})=q(\rho\mathbf{e}_{3})=\rho^2 q(\mathbf{e}_{3})=\rho^2 \cdot (-2)$, allora $\rho=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$:
  • $q(\mathbf{v}_{3})=4 \quad \Rightarrow \mathbf{v}_{3}=2\mathbf{e}_{1}$, infatti se $\mathbf{v}_{3}=\mu \mathbf{e}_{2}$,
    $4=q(\mathbf{v}_{3})=q(\mu\mathbf{e}_{4})=\mu^2 q(\mathbf{e}_{4})=\mu^2$, allora $\mu=\pm 2$;
  • $q(\mathbf{v}_{4})=-7 \quad \Rightarrow \mathbf{v}_{4}=-\sqrt{\frac{7}{8}}\mathbf{e}_{4}$, infatti se $\mathbf{v}_{4}=\nu \mathbf{e}_{4}$,
    $-7=q(\mathbf{v}_{4})=q(\nu\mathbf{e}_{4})=\nu^2 q(\mathbf{e}_{4})=\nu^2 \cdot (-8)$, allora $\nu=\pm\sqrt{\frac{7}{8}}$.
La base sarà quindi $\mathcal{B}=(\mathbf{e}_{2},\sqrt{\frac{3}{2}}\mathbf{e}_{3},2\mathbf{e}_{1},-\sqrt{\frac{7}{8}}\mathbf{e}_{4})$,
e la matrice $M$ sarà:

\begin{displaymath}M=M_{\mathcal{E,B}}(id_{\mathbf{R}^4})= \begin{array}({cccc}... ...2}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -\sqrt{\frac{7}{8}} \end{array}. \end{displaymath}