Esercizi
- 2.
- Sia e sia una base. Si consideri così definita:
e sia la forma quadratica associata a .
- a)
- Si provi che il vettore è isotropo, e che non lo è.
- b)
- Si provi che non è una somma diretta.
È vero che ?- c)
- Si decomponga come , e si determini la proiezione di su rispetto a questa decomposizione.
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- Punto a)
- Consideriamo la forma associata a :
;e controlliamo:
, quindi è isotropo;
, quindi è non isotropo.
Punto c) .
- Per controllare se si può procedere in diversi modi:
possiamo determinare dei vettori che generano e vedere se la matrice le cui righe sono composte da questi vettori e dal vettore ha rango massimo, oppure procedere così :
sappiamo che è isotropo, quindi ; ciò implica che , oltre che .
Allora con ; inoltre poiché è isotropo, è ortogonale a cioè allora .
Da ciò si deduce che la loro somma non è diretta. Abbiamo appena dimostrato che , quindi;ma, essendo non degenere,tale che ,quindi è falso che .
II passo:
- I passo:
- Determiniamo :
allora la condizione sul generico elemento di sarà:
Allora otteniamo che ; quindi
La proiezione di è: