Esercizi

2.
Si consideri la base canonica su $\mathbf{V}=\mathbf{C}^3$ e $f \in Bils(\mathbf{V})$ così definita:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) -1 & 0 & i\\ 0 & 2 & 3\\ i & 3 & 1 \end{array}. \end{displaymath}

In ognuno dei seguenti casi si determini: $\dim \, \mathbf{U}, \, \dim \, \mathbf{W}$, e si dica se $\mathbf{U},\mathbf{W}$ sono ortogonali oppure no.
a)
$\mathbf{U}=<(1,7,5)>, \quad \mathbf{W}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, 2x-y+z=0 \rbrace$;
b)
$\mathbf{U}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, 2x+z=0, \, 3x-y=0 \rbrace$,
$ \mathbf{W}=<(0,0,1),(7+i,1+2i,0)>$;
c)
$\mathbf{U}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, z=0, \, x-y=0 \rbrace, \quad \mathbf{W}=<(2,1,0)>$.

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Soluzione
Per vedere se due sottospazi sono fra loro ortogonali, procediamo così :
siano $\mathbf{u} \in \mathbf{U}, \mathbf{w} \in \mathbf{W}$ e calcoliamo $f(\mathbf{u},\mathbf{w})$:
-
se $f(\mathbf{u},\mathbf{w})\neq0$, i due sottospazi non sono ortogonali.
-
se $f(\mathbf{u},\mathbf{w})=0$, ripeto l'operazione per tutti i vettori delle due basi di $\mathbf{U},\mathbf{W}$. Se il risultato è sempre nullo, allora $\mathbf{U} \perp \mathbf{W}$.
Punto a)
$\mathbf{U}=<(1,7,5)>, \,$ allora $\, \dim \,\mathbf{U}=1$.
$\mathbf{W}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, 2x-y+z=0 \rbrace =\lbrace (x,y,z) \, \vert \, y=2x+z \rbrace =\lbrace (x,2x+z,z) \, \vert \, x,z \in \mathbf{C} \rbrace$
$\mathbf{W}=<(1,2,0),(0,1,1)>$, quindi, poiché è un sottospazio generato da due vettori linearmente indipendenti fra loro, $\dim \mathbf{W}=2$. Ora, svolgendo i calcoli, otteniamo:
$f((1,7,5),(1,2,0))=57+5i\neq0$,
quindi $\mathbf{U},\mathbf{W}$ non sono ortogonali.
Punto b)
$\mathbf{U}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, 2x+z=0, \, 3x-y=0 \rbrace=\lbrace (x,y,z... ... z=-2x, \, Y=3x \rbrace=\lbrace (x,3x,-2x) \, \vert \, x \in \mathbf{C} \rbrace$.
$\mathbf{U}=<(1,3,-2)>, \,$ allora $\, \dim \,\mathbf{U}=1$.
$ \mathbf{W}=<(0,0,1),(7+i,1+2i,0)>$ e, poiché i due vettori sono evidentemente linearmente indipendenti, $\dim \, \mathbf{W}=2$. Ora, si ha:
$f((1,3,-2),(0,0,1)=i-7 \neq 0$,
allora i due sottospazi non sono ortogonali fra loro.
Punto c)
$\mathbf{U}=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, z=0, \, x-y=0 \rbrace=\lbrace (x,y,z) \, \vert \, z=0, \, x=y \rbrace=$
$\lbrace (x,x,0)) \, \vert \, x \in \mathbf{C} \rbrace$,
allora $ \mathbf{U}=<(1,1,0)>, \,$ e $\, \dim \,\mathbf{U}=1$. Inoltre $\mathbf{W}=<(2,1,0)> \,$ e $\, \dim \, \mathbf{W}=1$. Per vedere se sono ortogonali:
$f((1,1,0),(2,1,0))=0$
allora $\mathbf{U} \perp \mathbf{W}$.