Esercizi

2.
Si consideri la forma bilineare non degenere $f$ la cui matrice associata sia:

\begin{displaymath}A:= \begin{array}({ccc}) 1 & 1 &-1\\ 1 & 1 &0\\ -1 & 0 & 1 \end{array}, \end{displaymath}

ed il sottospazio $\mathbf{U}:= \lbrace (x,y,0) \vert x,y \in \mathbf{R} \rbrace$.
Si determini $\mathbf{U}^{\perp}$.

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Soluzione
Sappiamo che $\mathbf{U}=<(1,0,0),(0,1,0)>$, allora troviamo lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo:

\begin{displaymath}\begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array} \... ...nd{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array} =0 \end{displaymath}

cioè

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0 \\ -x+y=0 \end{array} \right. . \end{displaymath}

Allora $\mathbf{U}^{\perp}= \lbrace (x,x,-2x)\vert x \in \mathbf{R} \rbrace$, sottospazio di dimensione 1.