Esercizi

2.
Data la forma quadratica su $\mathbf{R}^3$
$q(\mathbf{x})=2x_{1}^2-6h x_{2}^2+x_{3}^2 +6h x_{1}x_{2}+2(h-1)x_{1}x_{3},$
determinare per quale valore di $h$ la forma è non degenere.
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Soluzione
Una forma è non degenere se ha rango massimo, quindi dobbiamo porre il determinante della matrice associata diverso da zero e determinare per quali valori del parametro $h$ ciò si verifica.
Presa
$A= \begin{array}({ccc}) 2 & 3h & (h-1)\\ 3h & -6h & 0\\ (h-1) & 0 & 1 \end{array}$,
$\quad$
deve valere $\qquad \det \, A= -12h+6h(h-1)^2 -9h^2 \neq0$,
quindi $\quad -12h +6h^3 -12 h^2 +6h -9h^2 \neq 0$,
$6h^3 -21 h^2 -6h \neq 0$
$\quad$
$3h(2h^2-7h-2)\neq0 \,\, \Rightarrow \,\, \left\{ \begin{array}{l} h\neq 0\\ h \neq \frac{7 \pm \sqrt{65}}{4} \end{array} \right. .$
Per questi valori abbiamo $q$ non degenere.