Esercizi

Soluzione

2.

Per trovare

rispetto alla base canonica, basta applicare la formula per il cambiamento di base nelle forme bilineari:

$Mat(f,\mathcal{E})=(M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbb{R} ^3}))^{t}Mat(f,\mathcal{B})M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbb{R} ^3})$ .

Quindi dobbiamo determinare la matrice del passaggio dalla base $\mathcal{B}$ alla base canonica $\mathcal{E}$ in $\mathbb{R} ^3$ :

$(1,0,0)=1(1,0,0)+0(0,2,0)+0(1,0,3)=(1,0,0)_{\mathcal{B}}$ ,
$(0,1,0)=0(1,0,0)+\frac{1}{2}(0,2,0)+0(1,0,3)=(0,\frac{1}{2},0)_{\mathcal{B}}$ ,
$(0,0,1)=-\frac{1}{3}(1,0,0)+0(0,2,0)+\frac{1}{3}(1,0,3)=(-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3})_{\mathcal{B}}$ ,

da cui si ha che:

$\begin{displaymath}M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbb{R} ^3})= \begin{array}({ccc}) 1... ...{3}\\ 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}. \end{displaymath}$

Sostituendo i valori ottenuti, abbiamo che

$\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E})= \begin{array}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & \fr... ...{3}\\ 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\begin{array}({ccc}) 3 & 0 & -\frac{2}{3}\\ -1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{3}\\ -1 & 0 & -\frac{1}{3} \end{array}; \end{displaymath}$

perciò la forma bilineare cercata è:

$\begin{displaymath}f(\mathbf{x},\mathbf{y})=3x_{1}y_{1}+\frac{5}{4}x_{2}y_{2}-\f... ...}y_{1}-x_{3}y_{1}-\frac{2}{3}x_{1}y_{3}+\frac{1}{3}x_{2}y_{3}. \end{displaymath}$