Esempi

1.
Sia $f((x_1,x_2),(y_1,y_2))= 2x_1y_1-x_1y_2+3x_2y_1-5x_2y_2, \, $ e
$\mathcal{E}= (\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n)$ la base canonica di $\mathbf{V}$.
Allora la matrice di $f$ rispetto a $\mathcal{E}$ sarà

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{E}) = \begin{array}({cc}) 2 & -1\\ 3 & -5 \end{array}; \end{displaymath}

infatti, svolgendo i calcoli, si trova
$a_{11}= f(\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{1})= 2 \qquad a_{12}= f(\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2})= -1$
$a_{21}= f(\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{1})= 3 \qquad a_{22}= f(\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{2})= -5$

2.
Consideriamo la seguente matrice ad elementi reali:

\begin{displaymath}A= \begin{array}({ccc}) 1 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 2\\ 4 & 2 &-1 \end{array}; \end{displaymath}

la forma bilineare associata a A, rispetto alle basi canoniche, è la seguente:
$\psi : \mathbf{R}^3 \times \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}$,
$\psi((x,y,z),(x',y',z'))= xx'-zz'+2xy'+2x'y+4xz'+4x'z+2yz'+2y'z.$