Esempi

1.
Un esempio banale è la forma bilineare nulla:
$0(\mathbf{v},\mathbf{w})=0_{\mathbf{V}}, \qquad \forall~ \mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbf{V}$.
In particolare si noti che è sia simmetrica che antisimmetrica.

2.
Se $\mathbf{V}=\mathbf{R}^2$, allora la funzione $f: \mathbf{V} \times \mathbf{V} \rightarrow K $, con
$f((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = 2x_1y_1-x_1y_2+3x_2y_1-5x_2y_2$
è bilineare.

3.
Se $\mathbf{V}=\mathbf{R}^2$, allora la funzione $f: \mathbf{V} \times \mathbf{V} \rightarrow K $, con
$f((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = x_1y_1-x_1^{3}y_2$
non è bilineare, infatti
$f((2,0),(0,1))= -8 \qquad \neq \qquad 2f((1,0),(0,1))= -2$

4.
Consideriamo una matrice $A= (a_{ij})_{i,j=1,\ldots,n} \in M_{n}(K)$ e $f$ definita da:

\begin{displaymath}f(\mathbf{x},\mathbf{y})= \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j} \end{displaymath}

ove $\, \mathbf{x}=(x_{1},\ldots,x_{n}), \,\, \mathbf{y}=(y_{1},\ldots,y_{n})$.
Dalle proprietà del prodotto delle matrici segue che in questo modo si è definita una forma bilineare.
Osserviamo che quindi un polinomio biomogeneo di grado 1 nelle $\mathbf{x}$ e nelle $\mathbf{y}$ definisce una forma bilineare.
Se in particolare abbiamo che $A= I_{n} $, allora
 \begin{displaymath} f(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots+x_{n}y_{n} \end{displaymath} (1)

La $f$ è una forma bilineare simmetrica detta forma simmetrica standard su $K^{n}$.

5.
Se $n=2k$ e considero $A=J_{k} $ dove $\, J_{k}= \begin{array}({cc}) 0_{k} & I_{k}\\ -I_{k} & 0_{k} \end{array}, $ allora avremo

\begin{displaymath}f(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_{1}y_{k+1}+\cdots+x_{k}y_{n}-x_{k+1}y_{1}-\cdots-x_{n}y_{k} \end{displaymath}

che è una forma bilineare alterna detta forma alterna standard su K.