Esercizi

2.
Data la forma bilineare su $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2$; sia
$\phi(\mathbf{x},\mathbf{y})=2x_{1}y_{1}-5x_{2}y_{2}+x_{2}y_{1},$
calcolare la matrice che esprime $\phi$ rispetto alla base $\mathcal{B}=((-1,1),(1,1))$, 
congruente a $Mat(\phi,\mathcal{E})$, attraverso la matrice cambiamento di base.
Determinare poi la matrice che esprime $\phi$ rispetto alla base $\mathcal{C}=((2,3),(1,0))$e 
verificare che $Mat(\phi,\mathcal{E}) \,$e $\, Mat(\phi,\mathcal{C})$ sono congruenti.    Perché?
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Soluzione
I passo:
Iniziamo a calcolare $Mat(\phi,\mathcal{B})$attraverso la formula:
$Mat(\phi,\mathcal{B})= (M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathcal{E})M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbf{R}^2})=$
$=\begin{array}({ccc}) -1 & 1\\ 1 & 1 \end{array} \begin{array}({ccc}) 2 &... ...\ 1 & 1 \end{array} =\begin{array}({ccc}) -4& -6\\ -8 & -2 \end{array}.$

II passo:   
Calcoliamo ora i vettori-base di $\mathcal{C}$rispetto a $\mathcal{B}$ per costruire la matrice del cambiamento di base:
$(2,3)=\frac{1}{2}(-1,1)+\frac{5}{2}(1,1)=(\frac{1}{2},\frac{5}{2})_{\mathcal{B}}$
$(1,0)=- \frac{1}{2}(-1,1)+\frac{1}{2}(1,1)=(- \frac{1}{2},\frac{1}{2})_{\mathcal{B}}$
quindi svolgendo i calcoli troveremo che
$Mat(\phi,\mathcal{C})= (M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathcal{B})M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2})=$
$=\begin{array}({ccc}) \frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2... ...\frac{1}{2} \end{array} =\begin{array}({ccc}) 31 & 7\\ 4 & 2 \end{array}.$

III passo:  
$Mat(\phi,\mathcal{E})$e $ Mat(\phi,\mathcal{C})$ sono congruenti se e solo se esiste una matrice $M$ invertibile tale che
$Mat(\phi,\mathcal{C})=M^{t}Mat(\phi,\mathcal{E})M$.
Quindi dobbiamo verificare che, presa $M=M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^2})$, questa verifica le condizioni richieste:

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^2})= \begin{array}({cc}) 2 & 1\\ 3 & 0 \end{array} \end{displaymath}

è una matrice non degenere di rango massimo, quindi è invertibile;
inoltre
$Mat(\phi,\mathcal{C})= (M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathc... ...} }(id_{\mathbf{R}^2})= \begin{array}({cc}) -31 & 7\\ 4 & 2 \end{array}. $

IV passo:  
Le tre matrici sono fra loro congruenti poiché la congruenza, essendo una relazione di equivalenza,
 gode della proprietà transitiva.