La storia della frazioni continue

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Tracce di procedimenti concettualmente vicini alle frazioni continue sono presenti, nella storia della matematica, nel commento di Teone di Alessandria (tardo IV secolo d. C.) all’Almagesto di Claudio Tolomeo. Anche negli scritti di Aryabhata (476-550), autore del più vasto ed importante testo della matematica indiana (l’Aryabhatiya, scritto nel 499), troviamo riferimenti alle frazioni continue: in particolare, Aryabhata accenna alla risoluzione generale di un’equazione indeterminata attraverso una tecnica concettualmente assai vicina alla frazione continua. Tecniche che accennano, sostanzialmente, alle frazioni continue ascendenti si trovano nel “Liber Abbaci” (1202), il capolavoro di Leonardo Pisano detto Fibonacci  (1170 circa-1250 circa): gli spunti di Fibonacci sono poi ripresi dall’arabo Abu’l Hasan Alkalsadi, in un trattato di aritmetica pubblicato nel 1463 e da Luca Pacioli (1445-1515 circa).

(Leonardo Pisano detto Fibonacci)

Modernamente, l’introduzione delle frazioni continue viene fatta risalire a Raffaele Bombelli (1526-1573) ed a Pietro Antonio Cataldi (1548-1626); quest’ultimo, docente presso l’Ateneo bolognese, riprendendo in parte alcuni procedimenti dovuti a Bombelli (autore dell’Algebra, Bologna 1572 e 1579), pubblica un semplice metodo per l’estrazione della radice quadrata basato su questo strumento matematico. Bombelli tuttavia non approfondisce questa tecnica. Pochi anni dopo (1613), Cataldi pubblica “Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadrata delli numeri”. Con l’opera di Cataldi viene messo a punto un procedimento iterativo efficace, elegante e dallo spirito moderno; per cui le frazioni continue possono essere ricordate da E. Bortolotti come “i primi passi verso la generalizzazione del concetto di numero (fino ad allora ristretto al solo campo dei razionali) e verso l’avvento del metodo infinitesimale”.

Molti, nei secoli seguenti, sono gli studi condotti da prestigiosi matematici sulle frazioni continue; molti risultati e molti procedimenti ad esse collegati vengono ideati e perfezionati. Nel 1625, Albert Girard (1590-1633) in un commento ad un manuale di aritmetica di Simon Stevin (1548-1620) descrive alcuni sviluppi in frazioni continue di reali irrazionali, ma senza riportare una loro completa giustificazione. John Wallis (1617-1703) è il primo autore ad utilizzare il termine “frazione continua”; nell’ opera di Wallis “Aritmetica infinitorum” (1655)

(John Wallis)

Negli “Opuscoli postumi”, pubblicati nel 1703, di Christiaan Huygens (1629-1695) si trova un esempio di sviluppo in frazione continua (limitata) di un reale razionale basato sull’algoritmo della “divisione euclidea”. Leonhard Euler si occupa spesso di frazioni continue e pubblica “De fractionibus continuis”, opera rigorosa e profonda. 

In Euler troviamo molti siluppi interessanti, alcuni dei quali riguardanti il numero e, base dei logaritmi naturali. Nel 1770, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) pubblica “Beytrage zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung”, lavoro in cui viene data una sistemazione organica alle ricerche sulle frazioni continue.

(Leonhard Euler)

Sessanta anni dopo Lagrange, Evariste Galois  (1811-1832) proverà che sviluppando in frazione continua le radici di un’equazione di secondo grado i periodi sono composti dagli stessi numeri ordinati inversamente. Anche il primo lavoro matematico di Galois è dedicato alle frazioni continue: “Démonstration d’un théorème sur les fractions continues périodiques”, pubblicato (1 aprile 1829) quando il suo diciassettenne autore è studente nel College Louis-Le-Grand.

Oltre agli studiosi sino ad ora ricordati, molti ricercatori si occupano di frazioni continue. Notevoli, per quanto riguarda il loro studio nell’età contemporanea, appaiono le ricerche di Karl Friedrich Gauss (1777-1855), e di Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).

(Karl Friedrich Gauss)