La regola di Eulero

Nella pagina precedente si è visto che il numero  [q₀, q₁, ..., q_n]  è la somma di certi prodotti, formati con i

termini q₀, q₁, ..., q_n.  Quali prodotti? La risposta fu ottenuta da Eulero, il primo a dare un resoconto generale

sulle frazioni continue: 

    Si prenda dapprima il prodotto di tutti i termini. Si prenda poi ognuno dei prodotti che si possono ottenere omettendo un qualsiasi paio di termini consecutivi.   Si prendano ancora tutti i prodotti ottenuti omettendo due qualsiasi paia di termini consecutivi, e così via. La somma di tutti questi prodotti fornisce  il valore di:

Resta inteso che se n+1 è pari, l'ultimo prodotto incluso sarà quello vuoto, ottenuto omettendo tutti i termini, a

qui si attribuirà il valore convenzionale 1. Un esempio della regola di Eulero è:

In questo caso abbiamo preso dapprima il prodotto di tutti i termini, poi quello con il paio q₀, q₁ omesso, poi

omettendo il paio q₁, q₂, e ancora omettendo q₂, q₃, ed infine il prodotto vuoto, mancante di entrambe le

coppie q₀, q₁  e  q₁, q₂.  Un altro esempio, con un termine in più è

Si può inoltre dimostrare che il valore di

non cambia se i termini vengono scritti in ordine opposto, in altri termini:

Per esempio: