I convergenti a una frazione continua

Sia

una qualunque frazione continua. Supporremo d'ora in avanti che i termini  q₀, q₁, ..., q_n  siano numeri interi.

Le varie frazioni continue

ottenute arrestandosi a un termine precedente a q_n, sono denominate convergenti alla frazione continua. La ragione per cui questa 

terminologia è appropriata sarà chiara in seguito. Il valore di un generico convergente, ottenuto fermandosi a q_m, diciamo, è:

Per semplificare poniamo

cosicché il generico convergente è del tipo  A_m/B_m .     Il primo convergente diviene così q_0, l'ultimo invece il valore della frazione

continua stessa. Tutti gli  A_i e B_j  sono numeri interi poiché somme di prodotti formati secondo la regola di Eulero. Si può dimostrare

che valgono le seguenti relazioni definite per ricorrenza:

Dunque numeratore e denominatore dei convergenti si ottengono per mezzo delle stesse regole generali. Queste sono assai convenienti

al fine dei calcoli numerici; possiamo calcolare i primi due convergenti in modo diretto e i rimanenti riapplicando la regola.

Inoltre si può dimostrare che ogni convergente è più vicino del precedente al valore finale di a/b. 

Un secondo fatto interessante è che i  convergenti sono le migliori approssimazioni ad a/b mediante frazioni di assegnata complessità,

dove si  misuri la complessità di una frazione con la grandezza del denominatore. Dunque ogni frazione che che più si avvicina ad a/b

di un particolare convergente avrà denominatore sempre maggiore rispetto al denominatore del convergente precedente.