Frazioni continue infinite

Fino ad ora abbiamo considerato l'espressione di un numero razionale in frazione continua. E' anche possibile

rappresentare un numero irrazionale con una frazione continua, ma in questo caso l'espansione prosegue

indefinitamente invece di terminare. Sia α un numero irrazionale arbitrario. Sia q₀ la parte intera di α, ossia il

massimo intero che sia minore di α. Allora α = q₀ + α', dove α' è la parte frazionaria di α, e soddisfa la relazione

0 < α < 1. Poniamo α' = 1/α₁. Allora

Possiamo iterare questa procedura indefinitamente. Una volta raggiunto α_n, esso stesso un numero irrazionale

maggiore di 1, possiamo esprimerlo nella forma

e q_n è un numero naturale. Combinando tutte le equazioni fino a quest'ultima, si ottiene per α l'espressione

Tutti gli interi q₁, ..., q_n sono numeri naturali, mentre q₀ può essere positivo, negativo o nullo.

Il procedimento non può mai terminare, in quanto ogni quoziente completo α₁, α₂,... è un numero irrazionale.

I convergenti alla frazione continua sono

ed ora costituiscono una sequenza infinita di numeri razionali.

Si può inoltre dimostrare che ogni convergente successivo migliora il precedente, ovvero si avvicina sempre più al valore di

α. Da qui si spiega il perchè tali frazioni sono chiamate convergenti.