Frazioni continue infinite

Fino ad ora abbiamo considerato l'espressione di un numero razionale in frazione continua. E' anche possibile

rappresentare un numero irrazionale con una frazione continua, ma in questo caso l'espansione prosegue

indefinitamente invece di terminare. Sia α un numero irrazionale arbitrario. Sia q0 la parte intera di α, ossia il

massimo intero che sia minore di α. Allora α = q0 + α', dove α' è la parte frazionaria di α, e soddisfa la relazione

0 < α < 1. Poniamo α' = 1/α1. Allora

                                                                   

Possiamo iterare questa procedura indefinitamente. Una volta raggiunto αn, esso stesso un numero irrazionale

maggiore di 1, possiamo esprimerlo nella forma

                                                                   

e qn è un numero naturale. Combinando tutte le equazioni fino a quest'ultima, si ottiene per α l'espressione

                                                                       

Tutti gli interi q1, ..., qn sono numeri naturali, mentre q0 può essere positivo, negativo o nullo.

Il procedimento non può mai terminare, in quanto ogni quoziente completo α1, α2,... è un numero irrazionale.

I convergenti alla frazione continua sono

ed ora costituiscono una sequenza infinita di numeri razionali.

Si può inoltre dimostrare che ogni convergente successivo migliora il precedente, ovvero si avvicina sempre più al valore di

α. Da qui si spiega il perchè tali frazioni sono chiamate convergenti.