Introduzione alle frazioni continue

Nella pagina precedente abbiamo mostrato l'algoritmo di Euclide per la ricerca del massimo comune

divisore tra due numeri assegnati. L'algoritmo può essere però formulato in un altro modo, per effetto

del quale il quoziente dei due numeri viene rappresentato come frazione continua. Il metodo sarà

chiarito da un esempio numerico.

Applichiamo l'algoritmo di Euclide ai numeri 67 e 24. I passi successivi sono:

67 = 2 x 24 + 19
24 = 1 x 19 + 5
19 = 3 x 5 + 4
5 = 1 x 4 + 1

L'ultimo resto è 1, come si poteva prevedere dal fatto che 67 e 24 sono primi tra loro (coprimi).

Scriviamo ora ciascuna equazione in forma frazionaria:

L'ultima frazione in ciascuna equazione è la reciproca della prima frazione nell'equazione successiva.

Possiamo dunque eliminare tutte le frazioni intermedie, ed esprimere quella originale 67/24 nella forma:

Una tale espressione è detta frazione continua. Per convenienza sia tipografica che di notazione, si adotta

talvolta la seguente notazione:

I numeri 2,1,3,1,4 in questo caso sono detti i termini della frazione continua, o i quozienti parziali, in quanto

essi sono i quozienti parziali nei passaggi successivi dell'algoritmo di Euclide applicato al numeratore e denominatore

della frazione di partenza. I quozienti completi sono i numeri 67/24, 24/19, 19/5, 5/4 stessi. Ognuno di essi ha una

frazione continua che deriva da quella di partenza iniziando da un punto successivo, come

E' chiaro che dall'esempio di sopra e da ciò che sappiamo sull'algoritmo di Euclide, che ogni numero razionale

maggiore di 1 si può rappresentare come frazione continua:

i cui termini q, r, s, ..., w sono numeri naturali. L'ultimo termine, qui denotato con w, deve essere maggiore di 1,

essendo l'ultimo quoziente nell'algoritmo di Euclide. Inoltre si può facilmente dimostrare che ogni numero razionale

ammette una unica rappresentazione come frazione continua.

Nota bene! Poiché l'algoritmo euclideo tra due interi a e b giunge sempre alla fine, ovvero si arresta dopo un certo numero di passi,

allora ogni numero razionale a/b ammette una unica frazione continua finita, ovvero con un numero finito di quozienti parziali.