La frazione continua generale

Le frazioni continue sono di grande utilità nella teoria dei numeri; il loro uso spesso consente di produrre soluzioni

esplicite di un dato problema, laddove altri metodi proverebbero soltanto che una soluzione esiste. Scriviamo la

frazione continua generale nella forma:   

    (1)                                                                                                                               

Prima di poter ricercare con successo le proprietà aritmetiche delle frazioni continue sarà opportuno stabilire alcune

relazioni puramente algebriche. Tali relazioni sono in effetti identità, la cui validità non dipende cioè dalla natura dei

termini q_j. Per ora tratteremo questi termini come variabili, non necessariamente numeri naturali. Se calcoliamo la

frazione continua (1) in passaggi successivi, finiremo ovviamente con un'espressione per essa come quoziente di due

somme, ognuna delle quali comprende vari prodotti formati dai termini q_0, ..._, q_n. 

Se n = 1, si ha:

Se n = 2, otteniamo

dove nel passaggio intermedio abbiamo inserito il valore per q₁ + 1/q₂, ottenuto con calcolo precedente, ponendo q₁ e q₂ al posto

di  q₀ e q₁.     Analogamente, se n = 3, si ha

     (2)                                                                      

Anche qui è stato usato il risultato del passaggio precedente.

E' chiaro che possiamo costruire la frazione continua generale proseguendo in questa direzione. Denoteremo il numeratore

della frazione continua (1), qualora venga calcolato in questo modo, con:

Così:

e così via. Si osserverà che negli esempi considerati sopra, il denominatore dell'espressione ottenuta per la frazione continua è:

Ciò è vero in generale. La frazione continua generale ha dunque un valore dato da: