Matematic@:

Derivate

Teorema di Rolle

Sia una funzione continua sull'intervallo chiuso [a,b] e derivabile sull'intervallo aperto ]a,b[, con allora tale che .

Si richiedono tali ipotesi per due motivi:

Possiamo considerare il teorema di Rolle una sorta di caso particolare di quello di Weierstrass che garantisce la presenza di punti di massimo e minimo di una funzione continua su un intervallo chiuso.
La derivabilità è richiesta solo sull'intervallo aperto in quanto cerchiamo punti di max/min all'interno dell'intervallo.

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass ammette punti di massimo M e minimo m assoluti in [a,b].

Se sia M che m sono entrambi raggiunti negli estremi dell'intervallo [a,b] allora dato che si ha che M=m e quindi la funzione è costante, allora la derivata di si annulla in ogni punto di ]a,b[.

Se invece uno degli estremanti, ad esempio il massimo, è raggiunto in allora per il teorema precedente (Fermat) .

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Teorema di Lagrange o del valore medio

Sia una funzione continua sull'intervallo chiuso [a,b] e derivabile sull'intervallo aperto ]a,b[, allora tale che .

Il teorema di Lagrange è una generalizzazione del teorema di Rolle.

Infatti non abbiamo più le ipotesi , ma sotto queste i due teoremi coincidono.

Graficamente il teorema di Lagrange indica che esiste, una volta soddisfatte le ipotesi, un punto in cui la tangente al grafico (gialla) è parallela alla retta passante per gli estremi del grafico (rossa).