Equazione polare dell'iperbole.

Consideriamo un'iperbole di fuoco $F$ e direttrice $d$.
Fissiamo un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:
- $O\equiv F$
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.
Sia ora $h>0$ la distanza tra $O$ e il punto di intersezione tra $d$ e l'asse $x$, $\rho$ la lunghezza del vettore $\overrightarrow{OP}$, $\theta$ è l'angolo che $\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse x.

Figura: Il punto P è sull'iperbole.

 

Si ha $d(P,F)=\rho$ e $d(P,d)=\vert h-\rho\cos\theta\vert.$ Sostituendo a $$\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$$ si ottiene

$$\rho=e\vert h-\rho\cos\theta\vert$$ (4)

Distinguiamo ora due casi:

• $P(x,y)$ tra $F$ e $d$; allora $\rho\cos\theta<h$ e () diventa, risolvendo rispetto a $\rho$,
  
  $$\rho=\displaystyle\frac{eh}{1+e\cos\theta}\\ .$$
  
  

• $P(x,y)$ ed $F$ si trovano in due semipiani distinti rispetto a $d$; allora $\rho\cos\theta>h$ e () diventa, risolvendo rispetto a $\rho$,
  
  $$\rho=\displaystyle\frac{eh}{e\cos\theta-1}\\ .$$
  
  

Il secondo caso è possibile solo se $e>1$ $(c>a)$.
Quindi si ottiene

$$\mathcal{C}= \left\{ \begin{array}{rcl} \rho=\displaystyl... ...tyle\frac{eh}{e\cos\theta-1} & (e>1)\\ \end{array} \right.$$

che sono le equazione dei due rami di iperbole. Tale equazione è detta equazione polare dell'iperbole.