Equazione polare dell'iperbole.

Consideriamo un'iperbole di fuoco $F$ e direttrice $d$.
Fissiamo un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:
- $O\equiv F $
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.
Sia ora $h>0$ la distanza tra $O$ e il punto di intersezione tra $d$ e l'asse $x$, $\rho$ la lunghezza del vettore $\overrightarrow{OP}$, $\theta$ l'angolo che $\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse x.
Figura: Il punto P sull'iperbole.
\includegraphics[width=12cm,height=8.5cm]{i-polare}
 

Si ha $d(P,F)=\rho$ e $d(P,d)=\vert h-\rho\cos\theta\vert.$ Sostituendo a $\displaystyle\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$ si ottiene

\begin{displaymath}
\rho=e\vert h-\rho\cos\theta\vert
\end{displaymath} (4)

Distinguiamo ora due casi: Il secondo caso possibile solo se $e>1$ $(c>a)$.
Quindi si ottiene

\begin{displaymath}
\mathcal{C}= \left\{
\begin{array}{rcl}
\rho=\displaystyl...
...tyle\frac{eh}{e\cos\theta-1} & (e>1)\\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

che sono le equazione dei due rami di iperbole. Tale equazione detta equazione polare dell'iperbole.