Dimostrazione
Denotiamo con $F$, $F',$ rispettivamente, i due fuochi. Fissiamo un sistema cartesiano $(O,x,y)$ tale che l'asse $x$ passi per $\overrightarrow{FF'}$ e l'origine sia il punto medio del segmento $\overline{FF'}$. Allora i due fuochi avranno coordinate $(\pm c,0)$. Il punto $P=(x,y)$ verifica la condizione $d(P,F)-d(P,F')=2a$ se e solo se $\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$, da cui segue
\begin{displaymath} \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a+ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}

\begin{displaymath} (x-c)^{2}-(x+c)^{2}=4a^{2}+4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}

\begin{displaymath} -4xc=4a^{2}+4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}

\begin{displaymath} -a^{2}-xc=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} \end{displaymath}

\begin{displaymath} x^{2}c^{2}+a^{4}+2a^{2}xc=a^{2}(x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2}) \end{displaymath}

\begin{displaymath} x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) \end{displaymath}

e si arriva infine all'identità

\begin{displaymath} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(c^{2}-a^{2})}=1. \end{displaymath} (3)
 
Adesso consideriamo il triangolo $FF'P$
($F, F'$ fuochi, $P$ punto sull'iperbole).
Poichè in un triangolo la differenza, in valore assoluto, tra due lati è minore del terzo abbiamo $\displaystyle\overline{FF'}>\vert\overline{PF}-\overline{PF'}\vert$ cioè $2c>2a$ da cui $c>a$. Possiamo allora porre $b^{2}=c^{2}-a^{2}$, e la (forma canonica) rappresenta l'equazione canonica dell'iperbole.