Osservazione 2 

 Nel piano $\mathrm P^2$ intersechiamo una conica $\mathcal C$ con la retta impropria (o retta all'infinito) di equazione $x_0=0$.

\begin{displaymath} E\cap(x_0=0)= \left\{(x_0;x_1;x_2)\vert x_0=0, \displaysty... ..._1^2}+\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0 \right\}=\emptyset. \end{displaymath}
Quindi non vi sono intersezioni con la retta all'infinito. 
\begin{displaymath} I\cap(x_0=0)=\left\{(x_0;x_1;x_2)\vert x_0=0, \displaystyl... ...c{x_1^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0 \right\}= \end{displaymath}
 
\begin{displaymath} =\left\{(x_0;x_1;x_2)\vert x_0=0, \left(\displaystyle\frac... ...ac{x_1}{a_1}-\displaystyle\frac{x_2}{a_2} \right)=0\right\}= \end{displaymath}
 
\begin{displaymath} =\left\{(0;x_1;x_2)\vert \displaystyle\frac{x_1}{a_1}-\di... ...tyle\frac{x_1}{a_1}+\displaystyle\frac{x_2}{a_2}=0 \right\}. \end{displaymath}

I punti di intersezione con la retta all'infinito sono quindi:
\begin{displaymath} (0;a_1;a_2), (0;a_1;-a_2). \end{displaymath}
In quanto $ a_1, a_2 \neq 0$ abbiamo che i due punti trovati non coincidono. Allora la retta impropria interseca un'iperbole in due punti distinti che sono i punti all'infinito delle rette $\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}+\displaystyle\frac{x_2}{a_2}\right)=0$, e $\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}-\displaystyle\frac{x_2}{a_2} \right)=0$, cioč dei suoi due asintoti. 
\begin{displaymath} P\cap(x_0=0)\left\{(x_0;x_1;x_2)\vert x_0=0, x_1^2=0\right\}=\left\{(0;0;1)\right\}, \end{displaymath}
quindi le due soluzioni sono coincidenti. La parabola č tangente alla retta all'infinito nel punto $(0;0;1)$.
Figura: Nel passaggio dal piano ordinario a quello ampliato con i punti impropri l'iperbole č stata completata con l'aggiunta di due punti, la parabola con l'aggiunta di un solo punto. In ogni caso esse appaiono come curve chiuse al pari dell'ellisse.
\includegraphics[width=9cm,height=9cm]{coniche_proiettive.ps}

Osservazione 2