Esempi

Esempio n.3

Trovare le soluzioni delle seguenti congruenze:

1)      12x º 7  (mod 3);

2)      313x º 12 – 2x  (mod 16);

3)      10x º 2  (mod 6).

 

Svolgimento.

1)      Poiché si ha  [12]₃= [0] ₃ ,  l‘equazione e’ equivalente a  0x º 7  (mod 3); che ovviamente non ammette soluzioni.

2)      L’equazione è equivalente a

315x º 12  (mod 16)

e siccome MCD(315,16)=1, allora l’equazione ha una ed una sola classe di soluzioni del tipo

S = {x₀ + 16z  tali che zÎZ}

con x₀ una soluzione dell’equazione.

Troviamo gli interi s,t tali che 1 = 315·s+16·t:

315 = 16·19 + 11,

16 = 11·1 + 5,

5 = 5·1 + 0,

da cui otteniamo i seguenti resti:

11 = 315 - 16·19,

5 = 16 - 11·1,

1 = 11 - 5·2,

che sostituiti nell’equazione danno

1 = 11 – (16 - 11·1) ·2 = 11·3 - 16·2,

1 = (315 - 16·19) ·3 - 16·2 = 315·3 - 16·59.

 

Quindi 1 = 315·3 - 16·59 che ha come conseguenza

315·3 º 1  (mod 16),

che, moltiplicato per il termine noto dell’equazione iniziale, si ha

315·(3·12) º 1·12  (mod 16) da cui 315·(3·12) º12  (mod 16)  .

Allora, siccome 3·12 º 4  (mod 16), si ha che x=4 è la soluzione richiesta.

 

3)Poiché il MCD(10,6)=2 e 2 divide 2, allora l’equazione di partenza è equivalente alla congruenza

5x º 1  (mod 3)

e, presa x₀ una soluzione, l’insieme delle soluzioni è del tipo

S={x₀ + 3k, con kÎZ e 0£x₀<6}.

Siccome la semplicità dei calcoli lo consente, possiamo trovare la soluzione procedendo per tentativi, quindi

per x₀=0, abbiamo che 0-1=-1 non divisibile per 3,

per x₀=1, abbiamo che 5-1=4 non divisibile per 3,

per x₀=2, abbiamo che 10-1=9 che, essendo divisibile per 3, in quanto 9 º 0 (mod 3).

Quindi abbiamo che l’insieme delle soluzioni è dato dalle classi di equivalenza:

S={[2]₆, [5]₆}.

Esempi su come trovare il MCD di due interi.

Esempi su come risolvere le equazioni in interi.

  Teoria