Esempi

Esempio n.2

Trovare, se esiste, una delle soluzioni in interi delle equazioni

1)      216x + 117y = 27,

2)      108x + 60y = 55.

 

Svolgimento.

Per risolvere l’esercizio dobbiamo applicare la seguente proposizione:

 

Proposizione. Dati a,b,c interi, l’equazione

ax+by=c

ha soluzione in numeri interi se e solo se MCD(a,b) divide c.

 

Ora, posto d=MCD(a,b), dalla teoria studiata sappiamo che d|a e d|b, quindi esistono due interi p e q tali che a=p·d e b=q·d e, se d|c, esiste anche un r intero tale che c=r·d.

Poiché possiamo esprimere d come combinazione lineare di a e b, ne segue che, se d|c, abbiamo:

d = sa+tb ,  e quindi  c=r×d=r× sa+r× tb

da cui risulta che una soluzione dell’equazione è data da x₀ = s·r, y₀ = t·r, mentre ogni altra soluzione è del tipo

x = x₀+b·z,   y = y₀-a·z  per qualche z intero.

 

1)      216x + 117y =27.

Applicando questa proposizione al nostro esempio, otteniamo che

216 = 117·1 + 99,

117 = 99·1 + 18,

18 = 9·2 +0,

quindi MCD(216, 117)=9.

Ora, poiché 9|27, esistono delle soluzioni per l’equazione data, perciò procediamo cercando s,t tali che 9=216·s+117·t:

99 = 216 - 117·1,

18 = 117 - 99·1,

9 = 99 - 18·5.

Svolgendo i calcoli, otteniamo che

9 = 99 – (117 - 99·1) ·5 = 99·6 - 117·5,

9 = (216 - 117·1) ·6 - 117·5 = 216·6 - 117·11,

da cui s=6 e t=-11.

Essendo 27 = 3· MCD(216, 117), una soluzione dell’equazione sarà quindi costituita da

x = 6·3=18 e y = -11·3 = -33.

 

2)      108x + 60y = 55.

Analogamente, troviamo d = MCD(108,60) e verifichiamo che d divida 55 :

108 = 60·1 + 48,

60 = 48·1 + 12,

48 = 12·4 + 0.

Essendo MCD(108,60)=12 e poiché 12 non divide 55, possiamo affermare che l’equazione non ammette soluzioni in numeri interi.

 

Esempi su come trovare il MCD di due interi.

Esempi su come risolvere le congruenze.

  Teoria