La rappresentazione posizionale in base 10

Consideriamo un numero, ad esempio $1999$. Viene naturale a chiunque scriverlo mediante delle cifre decimali, ossia utilizzando le cifre $0$,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$, familiari fin dalla scuola elementare. Ma è proprio necessario usare le cifre ? Un numero è proprio la stessa cosa di una espressione scritta mediante delle cifre decimali ?

In effetti, il numero $1999$ potrebbe anche essere scritto $MCMXCIX$, o anche "millenovecentonovantanove", come quando si compila un assegno. O potremmo inventarci un sistema, noto solo a noi e ai nostri amici, in cui "mille" si scrive $+++$, "novecento" si scrive $i++$, "novanta" si scrive $i+$ e "nove" si scrive $i$, e "millenovecento novantanove" si scrive $+++ i++ i+ i$. Funzionerebbe perfettamente.

Se esistono modi diversi di scrivere quello che, a quanto pare, è lo stesso numero, allora i numeri devono in qualche modo essere indipendenti dal modo in cui li scriviamo.

In effetti, quando scriviamo "millenovecentonovantanove" come $1999$, facciamo due cose distinte tra loro:

• Rappresentiamo il numero "millenovecentonovantanove" rispetto alla base $10$.
• Scriviamo la rappresentazione di questo numero nella base $10$ utilizzando un sistema di notazione posizionale.

Vediamo in dettaglio cosa significano queste due operazioni:

• Rappresentare un numero rispetto alla base $10$ è un modo (efficace) per rappresentare, ossia, in altre parole, per dare un nome a un numero, decomponendolo in una somma di potenze di 10, ciascuna moltiplicata per una cifra decimale. Ad esempio, il numero "millenovecentonovantanove" viene rappresentato nel modo seguente:


$$1\times1000+9\times100+9\times10+9$$

ossia, se usiamo per le potenze di dieci la notazione mediante esponenti:
 




$$1\times10^{3}+9\times10^{2}+9\times10^{1}+9\times10^{0}$$

(ricordando che $10^{0}=1$ per definizione)

La rappresentazione del numero è costituita proprio dalle cifre che moltiplicano le potenze di $10$, ossia, nel nostro esempio, dalle cifre $1, 9, 9, 9$.

• Il sistema di notazione che usiamo è posizionale perchè il significato delle cifre dipende dalla loro posizione: nella espressione $1999$ la prima cifra $1$ indica le migliaia, ossia quante volte $1000$ è contenuto nel numero "millenovecentonovantanove", la seconda cifra $9$ indica le centinaia, la terza cifra $9$ le decine, la quarta cifra $9$ le unità.


Consideriamo adesso il numero "novecentodieci". La sua rappresentazione in base $10$ è $910$ , dove compare ancora la cifra $1$ (oltre a $9$ e $0$), ma con significato diverso: la cifra $1$ indica ora il numero delle decine, perchè la sua posizione è diversa: mentre prima era la quarta cifra a partire dalla fine, ora è la seconda. Quello che conta è quindi la posizione delle cifre a partire dalla fine, ossia da destra.

Confrontiamo con quello che accade invece in un sistema di numerazione non posizionale, ad esempio quello romano: "millenovecentonovantanove" si scrive $MCMXCIX$, e "novecentodieci" si scrive $CMX$. La cifra $X$ qui sta sempre per il numero $10$, indipendentemente dalla posizione, e così pure il significato delle altre cifre non dipende dalla loro posizione (anche se poi il numero rappresentato da una cifra va sommato al precedente o sottratto a quello che segue a seconda della posizione relativa: ad esempio, in $CX$ si somma dieci a cento, mentre in $XC$ si sottrae).

A questo punto potremmo chiederci: che necessità abbiamo di inventarci un sistema tanto complicato per dare dei nomi ai numeri ? Non bastano i nomi che abbiamo già (ad esempio "millenovecentonovantanove") ? In realtà, i nomi che diamo ai numeri nel linguaggio di tutti i giorni non sono sempre comodi: provate a scrivere $1.992.883.318.9584.331$ usando il liguaggio di tutti i giorni, o anche soltanto a moltiplicare $5990$ per $352$ senza usare le cifre decimali. Rappresentazioni diverse dei numeri hanno scopi e funzioni diverse.

Domanda: perchè quando compiliamo un assegno (o un bollettino postale) ci viene chiesto anche di scrivere l'ammontare del denaro in lettere ? Vedremo più avanti una risposta.