Risoluzione 10:
La risposta è sì.
L’insieme degli elementi
nilpotenti di un anello commutativo I è l’insieme:
Dimostriamo che B è un sottogruppo di A:
- 0 sta in B, infatti 0n = 0;
- se a è un elemento di B, allora anche –a lo è.
Poiché A è un anello si verifica che se a sta in A, anche –a appartiene ad A.
per cui ogni termine della sommatoria è zero ed a + b sta in B.
Abbiamo dimostrato che B è un sottogruppo, adesso dimostriamo che è un ideale.
Sia a un elemento di A e b di B, allora il prodotto ab sta in B.
(ab)n = anbn
= an0 = 0, allora
B è un ideale di A.