SULLA SFERA E SUL CILINDRO :
Rappresenta un libro molto importante per Archimede.
Egli giunge infatti qui ad uno dei suoi risultati di maggiore rilievo: l'area e il volume di una sfera sono nella stessa relazione con l'area e il volume del cilindro circoscritto. In particolare, dimostrò che la sfera equivale ai 2/3 del cilindro che la contiene.
La peculiarità del tema è rappresentata anche dal fatto che Archimede volle scolpita sulla sua tomba una sfera e un cilindro, e questo ci fa capire quanto fosse affezionato a questo suo grande risultato (v. curiosità).
Riuscì nel suo intento grazie al metodo di esaustione.
Partendo dai risultati ottenuti in un'altra sua opera (Metodo del cerchio) in cui dimostrò che la superficie del cerchio equivale a quella del triangolo rettangolo avente come cateti la circonferenza rettificata ed il raggio, dedusse che
"qualsiasi sfera è uguale a quattro volte il cono che ha la base uguale al cerchio massimo della sfera e l'altezza uguale al raggio della sfera."
Come sempre, questa fu un'intuizione geniale, ma la dimostrazione risultò tutt'altro che semplice, tanto da impegnare al massimo lo studioso e mettere in risalto ancora una volta la sua eccellente abilità di geometra. Non riporteremo quindi qui la complessa dimostrazione rigorosa.
L'altro problema risolto è quello del volume della sfera:
"Il volume della sfera equivale ai 2/3 del cilindro circoscritto".
Anche in questo caso è impiegato il metodo di esaustione.
Inoltre sembra che lo studioso sia stato il primo a dimostrare e scoprire che
"l'area di una qualsiasi sfera è quattro volte l'area del suo cerchio massimo"
e che
"la superficie di una qualsiasi calotta sferica è uguale al cerchio il cui raggio sia uguale al segmento tracciato del vertice della calotta alla circonferenza del cerchio di base della calotta stessa."
Un altro importante risultato è il seguente:
"Se in un segmento di cerchio L'AL' viene inscritto un poligono in modo che tutti i suoi lati, esclusa la base, siano uguali e il loro numero sia pari, come LK…A…K'L', ove A è il punto di mezzo del segmento, e se si tracciano le linee BB', CC',… parallele alla base LL' e congiungenti coppie di punti angolari, allora
(BB'+CC'+…+LM):AM=A'B:BA, ove M è il punto di mezzo di LL' e AA' è il diametro passante per M".
Per un maggior approfondimento su vari aspetti della SFERA, si consiglia la visione del seguente sito:
http://it.wikipedia.org/wiki/Sfera
Infine, eccone una pagina tratta da una traduzione medievale:
