Successioni di Cauchy

 

 

Si può osservare che ogni successione convergente ha una proprietà particolare: preso un valore positivo prefissato, è possibile trovare due termini della successione tali che la loro distanza sia minore di tale termine.

Ad esempio, si consideri la semplice successione  convergente a 0.  Si fissi il valore ; si osserva che, per la definizione di limite, si ha, per un :  e ,  (ε è arbitrario). Quindi, effettuando la differenza tra i due termini: .

 

Dunque, l’intuizione porta a osservare che per le successioni convergenti due termini siano tra loro sempre più vicini quanto più è elevato l’indice dei termini stessi. Naturalmente questo concetto, che ora vedremo più in dettaglio, non può non essere estraneo a quello di convergenza, anzi in effetti coincide con esso.

 

 ____________________________________________________

 

DEFINIZIONE (6.1)  Sia  una successione di numeri reali. Si dice che  è una successione di Cauchy se si ha che:

, : , .

 ____________________________________________________

 

 

TEOREMA (6.2)  Ogni successione reale convergente è una successione di Cauchy.

 

____________________________________________________

 

Dimostrazione 

 

Sia  il limite di una successione reale . Per definizione:

, :  e , .

Per la disuguaglianza triangolare,   e quindi:

, : ,

e ciò corrisponde proprio alla definizione di successione di Cauchy.

____________________________________________________

 

 

Se questo teorema è valido anche in ambiti più generali ed è abbastanza immediato, il teorema successivo è un risultato nient’affatto banale, in quanto mostra una particolare proprietà del campo reale, che viene detta completezza (o anche completezza sequenziale).

La dimostrazione richiede la conoscenza di un altro teorema (il teorema di Bolzano-Weierstrass) che preferiamo non riportare, in quanto esula dai caratteri introduttivi di queste pagine (pur non essendo comunque estremamente complicata); inoltre, ciò che è stato omesso non porta a molti risultati utili, a livello pratico, per il calcolo dei limiti.

____________________________________________________

 

TEOREMA (6.3)  Ogni successione reale di Cauchy è una successione convergente.

 

____________________________________________________

 

 

In definitiva, il concetto di successione reale convergente e di successione reale di Cauchy sono perfettamente equivalenti e, dunque, per mostrare una delle due proprietà è possibile, se più conveniente, provare l’altra proprietà. Viceversa, se non si verifica una delle due caratteristiche, allora non può verificarsi nemmeno l’altra (una successione che non è di Cauchy o è divergente oppure non ha limite).