Introduzione storica



    In questo sito, parallelamente al sito del “Progetto Matematic@” che si occupa dei limiti delle funzioni reali, si tratta delle successioni di numeri reali e del concetto di limite di una successione. In quest’introduzione si vuole sottolineare come il processo che ha portato a introdurre il concetto di successione non è del tutto parallelo a quello che ha portato a definire i fondamenti del calcolo infinitesimale.  Semmai, il concetto di successione e quello di limite sono seguiti all’assiomatizzazione dell’analisi matematica moderna.

    Essendo un concetto che non è apparso in metodi noti dall’antichità, fino al ‘600 in rari casi la matematica ha fatto uso dello strumento delle successioni. L’unico caso noto ai più è forse quello di quella che oggi è nota come successione di Fibonacci (Leonardo Pisano detto Fibonacci, 1180-1250), descritta nel suo Liber abaci (1202 circa), scritto prevalemente per risolvere problemi algebrici legati alla sua attività di mercante.

    Il primo tentativo di dare una definizione all’idea di successione si può collocare nel 1659, quando Pietro Mengoli (1625-1686), noto matematico del tempo e uomo di Chiesa, nella sua opera Geometria speciosa (1659) cercò di dare ordine ad alcuni concetti che oggi stanno alla base del calcolo, in particolare quello di serie. Tuttavia, tale tentativo non fu ascoltato dai matematici suoi contemporanei poiché le successioni non intervenivano direttamente nei problemi del tempo.  In realtà, ci rese poi conto, come intuito da Mengoli, che definire in modo formale l’idea di successione avrebbe portato progressi anche nel campo delle serie, che interessava quasi tutti gli analisti dell’epoca. Quindi, i pochi risultati raggiunti dai più illustri matematici sulle successioni nel ‘600 e nel ‘700 furono prevalentemente legati a questioni relative alla convergenza delle serie.

    La definizione del concetto di successione e di limite viene introdotta in maniera compiuta ed accolta dalla comunità matematica all’inizio dell’800. In particolare, si può collocare nel 1821, quando Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nel suo Cours d’analyse pour L’Ecole polytechnique descrive in modo organico i fondamenti del calcolo moderno e quindi anche i primi passi riguardanti le successioni. E’ dovuto anche a Cauchy il concetto di successione di Cauchy, utile anche in quanto se ne può ricavare un criterio di convergenza per le serie. I progressi notevoli del calcolo ottenuti in seguito in ogni campo (compreso, quindi, anche quello delle serie, da secoli seguito dai matematici per i molti problemi analitici e geometrici collegati) mostrarono come una compresione adeguata degli oggetti matematici porta anche ad una maggiore facilità nel risolvere problemi pratici. Citiamo, tra i molti analisti del periodo in cui visse Cauchy, anche Bernhard Bolzano (1781-1848) che introdusse altri notevoli risultati sulle successioni, alcuni dei quali ancora oggi portano il suo nome.

    Dopo il periodo di Cauchy il concetto di successione diventò centrale in matematica, quando in particolare alla fine dell’800, con analisti come Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) e Julius Wilhelm Dedekind (1831-1916), crebbe l’interesse per il concetto di infinito.

    Nel’900 l’idea di successione di numeri reali fu estesa ad ambiti molto più ampi di quanto si occupa la matematica elementare, confermandosi un oggetto fondamentale di studio nell’analisi infinitesimale.