Esempi di successioni convergenti

 


Nota: Indicheremo per qualunque numero la parte intera di x come il massimo intero  minore o uguale ad x e la indicheremo con [x] ; ad esempio: 

[p] = 3 , oppure [-1/3] = -1.


 Verificare, utilizzando la definizione di limite, che valgono i limiti seguenti:


 
 1)      

    Sia  qualunque. Si osserva che  (ossia, essendo n positivo, ) se e solo se . Quindi, si può prendere   ottenendo proprio quanto si voleva:

,   :   ,    

 


 

2)       

La successione può essere visualizzata sul grafico di un'analoga funzione continua: 

 

    Sia  .  (ossia, essendo n positivo, ) se e solo se , cioè (essendo la funzione logaritmo crescente) se e solo se  . Quindi,  si ha quando  e allora si sceglie :

, : ,

 


 

3)     

 

 

Sia . Si deve determinare per quali n , cioè . Ciò avviene per ; quindi, in questo caso si prende  (osservando che, per ,  diventa negativo e allora tale condizione diventa superflua).  Si ottiene così:

, : ,

 


 

4)

 

 

    Sia .  se e solo se . Poiché , il logaritmo è negativo e allora resta da vedere solo la disuguaglianza:

 

Ora ciò equivale a

.  

Se , tale disuguaglianza vale sempre. In caso contrario, si sviluppano i calcoli, e la disuguaglianza diventa e allora si può porre , da cui si può verificare il limite, usando tale valore nella definizione.