Esempi di successioni convergenti
Nota: Indicheremo per qualunque numero la parte intera di x come il massimo intero minore o uguale ad x e la indicheremo con [x] ; ad esempio:
[p] = 3 , oppure [-1/3] = -1.
Verificare, utilizzando la definizione di limite, che valgono i limiti seguenti:
1)
Sia qualunque. Si osserva che (ossia, essendo n positivo, ) se e solo se . Quindi, si può prendere ottenendo proprio quanto si voleva:
, : ,
2)
La successione può essere visualizzata sul grafico di un'analoga funzione continua:
Sia . (ossia, essendo n positivo, ) se e solo se , cioè (essendo la funzione logaritmo crescente) se e solo se . Quindi, si ha quando e allora si sceglie :
, : ,
3)
Sia . Si deve determinare per quali n , cioè . Ciò avviene per ; quindi, in questo caso si prende (osservando che, per , diventa negativo e allora tale condizione diventa superflua). Si ottiene così:
, : ,
4)
Sia . se e solo se . Poiché , il logaritmo è negativo e allora resta da vedere solo la disuguaglianza:
.
Ora ciò equivale a
.
Se , tale disuguaglianza vale sempre. In caso contrario, si sviluppano i calcoli, e la disuguaglianza diventa e allora si può porre , da cui si può verificare il limite, usando tale valore nella definizione.