la parte intera di x come il massimo intero
minore o uguale ad x e la indicheremo con [x] ; ad
esempio: Esempi di successioni convergenti
Nota: Indicheremo per qualunque numero
la parte intera di x come il massimo intero
minore o uguale ad x e la indicheremo con [x] ; ad
esempio:
[p] = 3 , oppure [-1/3] = -1.
Verificare, utilizzando la definizione di limite, che valgono i limiti seguenti:
1)
Sia
qualunque.
Si osserva che
(ossia,
essendo n positivo,
)
se e solo se
.
Quindi, si può prendere
ottenendo proprio quanto si voleva:
,
:
,
2)
La successione può essere visualizzata sul grafico di un'analoga funzione continua:
Sia
.
(ossia,
essendo n positivo,
)
se e solo se
,
cioè (essendo la funzione logaritmo crescente) se e solo se
.
Quindi,
si
ha quando
e
allora si sceglie
:
,
:
,
3)
Sia
.
Si deve determinare per quali n
,
cioè
.
Ciò avviene per
;
quindi, in questo caso si prende
(osservando
che, per
,
diventa
negativo e allora tale condizione diventa superflua). Si
ottiene così:
,
:
,
4)
Sia
.
se
e solo se
.
Poiché
,
il logaritmo è negativo e allora resta da vedere solo la
disuguaglianza:
.
Ora ciò equivale a
.
Se
,
tale disuguaglianza vale sempre. In caso contrario, si sviluppano i
calcoli, e la disuguaglianza diventa
e allora si può porre
,
da cui si può verificare il limite, usando tale valore
nella definizione.
