INSIEME C

 

Poniamo per definizione i = , cos risulta i = -1 quindi possiamo definire gli elementi di C nel seguente modo

 

c = a + ib

 

con a e b appartenenti all insieme dei numeri reali

 

 

Questo insieme pu essere utile per estendere l operazione dell estrazione di radice ottenendo sempre un elemento appartenente all insieme C , quindi risulta essere chiuso rispetto l operazione .

 

Esempi

 

d = -4

 

 

allora d risulta essere uguale o -i2 oppure i2 che appartengono all insieme dei complessi

 

c = -16

 

c ha 4 valori

 

c1=2

c2=-2

c3=+i2

c4=-i2

 

Entrambi appartengono all insieme dei numeri complessi.

 

Questo insieme utile anche per la risoluzione dell equazione di secondo grado quando il discriminante negativo , naturalmente supponendo di essere nell insieme dei numeri complessi.

 

 

 

 

Un numero complesso a + ib costituito da due parti: la parte reale e la parte immaginaria

La parte reale rappresentata dall elemento generico a , la parte immaginaria dall elemento b.

 

In questo insieme possiamo definire l operazione di addizione , di sottrazione , di moltiplicazione e di divisione

prendendo due elementi generici a + ib e c + di con a , b , c , d appartenenti a R.

 

(a + ib) + (c + di) =( a+c) + i(b + d)

(a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d )

 

basta sommare o sottrarre la parte reale del primo numero complesso con la parte reale del secondo numero complesso e la parte immaginaria del primo numero con quella del secondo.

 

questo risultato vale anche se vogliamo sommare o sottrarre n numeri complessi.

 

(a + ib) (c + di) = (ac bd) + i(ad + cb)

 

basta considerare l operazione come prodotto di due polinomi tenendo conto che i uguale a 1

 

((a + ib) / (c + di))((c di)/(c di)) =( (ac + db) + i(-ad + bc))/(c + d) = ((ac + db)/(c + d)) + i((-ad + bc))/(c + d)

 

basta moltiplicare numeratore e denominatore con il complesso coniugato del denominatore stesso , ricordando che il complesso coniugato di un numero complesso generico a + bi a ib.

 

L opposto di un numero complesso a ib

 

L elemento neutro della somma 0 + i0

 

L elemento neutro del prodotto 1 + 0i

 

Inoltre vale

 

(a + ib) (0 + i0) = 0

 

Infine l inverso moltiplicativo di un elemento a + ib un elemento c + ib tale che

 

(a + ib)(c+id) = 1

 

 

 

come determinare l inverso

 

basta porre {(ac bd) = 1 , (ad + cb) = 0}

 

risolvendo il sistema ottengo c = (a)/(a + b) e d = -(b)/(a + b)

 

DEFINIZIONE

 

Dato un numero complesso a + ib definiamo modulo del numero come la radice quadrata di a + b .

 

Ricordiamo che a = g cost e b = g sent dove g rappresenta il modulo del numero complesso e t l angolo

 

Il numero complesso si rappresenta come un punto (a , b) nel piano cartesiano ponendo l asse delle ascisse come l asse della parte reale e l ordinata come l asse della parte immaginaria . Il modulo rappresenta la distanza tra il punto (a , b) e l origine (0 , 0) , mentre t rappresenta l angolo che forma il vettore distanza.

 

Una rappresentazione visiva si pu avere tramite alcuni esempi riportati sul grafico sotto:

 

 

Ad esempio consideriamo il numero complesso della forma 1 + i ed il numero 2+i .

 

Allora basta prendere la parte reale che sta nell asse delle ascisse . Nel primo esempio la parte reale 1 nel secondo 2, per quando riguarda la parte immaginaria si rappresenta nell asse delle ordinate ; nel primo esempio e anche nel secondo abbiamo +i .I due punti possono essere rappresentati anche nella forma (a,b) ove il primo punto ha coordinate (-1 , 1) e il secondo coordinate (2 , 1).

Nel primo caso il modulo vale mentre nel secondo il modulo vale .Infine il valore nel primo caso rappresenta la distanza tra il punto di coordinate (-1,1) e l origine di riferimento (0,0) , mentre rappresenta la distanza tra il punto di coordinate (2,1) e l origine di riferimento (0, 0 ).

In entrambi i due casi possiamo definire anche l angolo t formato dal vettore distanza cio l angolo tra l asse delle ascisse e il vettore distanza .Nel primo caso avremo un angolo t1 e nel secondo caso un angolo t2.

 

Esercizio

 

Provare a rappresentare sul piano cartesiano alcuni numeri complessi scelti a piacere e calcolarne il loro modulo e il loro rispettivo angolo t con l asse delle ascisse (l angolo t espresso in valore numerico).

 

 

 

Le altre informazioni sui numeri complessi verranno dette nei corsi di matematica presso le varie facolt scientifiche e l ingegneria , ho preferito dare solamente le nozioni fondamentali per avere le basi chiare .

 

Per un ulteriore approfondimento vi consiglio i testi seguenti:

 

 

ANALISI 1 DI ERMANNO LANCONELLI

ALGEBRA DI ANGELO VISTOLI

 

Ecco qualche esercizio per casa sui numeri complessi

 

 

ESERCIZI

 

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