INSIEME C

Poniamo per definizione i = , così risulta i = -1 quindi possiamo definire gli elementi di C nel seguente modo

c = a + ib

con a e b appartenenti all’ insieme dei numeri reali

Questo insieme può essere utile per estendere l’ operazione dell’ estrazione di radice ottenendo sempre un elemento appartenente all’ insieme C , quindi risulta essere chiuso rispetto l’ operazione .

Esempi

d = -4

allora d risulta essere uguale o -i2 oppure i2 che appartengono all’ insieme dei complessi

c = -16

c ha 4 valori

c₁=2

c₂=-2

c₃=+i2

c₄=-i2

Entrambi appartengono all’ insieme dei numeri complessi.

Questo insieme è utile anche per la risoluzione dell’ equazione di secondo grado quando il discriminante è negativo , naturalmente supponendo di essere nell’ insieme dei numeri complessi.

Un numero complesso a + ib è costituito da due parti: la parte reale e la parte immaginaria

La parte reale è rappresentata dall’ elemento generico a , la parte immaginaria dall’ elemento b.

In questo insieme possiamo definire l’ operazione di addizione , di sottrazione , di moltiplicazione e di divisione

prendendo due elementi generici a + ib e c + di con a , b , c , d appartenenti a R.

(a + ib) + (c + di) =( a+c) + i(b + d)

(a + ib) – (c + id) = (a – c) + i(b – d )

basta sommare o sottrarre la parte reale del primo numero complesso con la parte reale del secondo numero complesso e la parte immaginaria del primo numero con quella del secondo.

questo risultato vale anche se vogliamo sommare o sottrarre n numeri complessi.

(a + ib) (c + di) = (ac – bd) + i(ad + cb)

basta considerare l’ operazione come prodotto di due polinomi tenendo conto che i è uguale a –1

((a + ib) / (c + di))((c – di)/(c – di)) =( (ac + db) + i(-ad + bc))/(c + d) = ((ac + db)/(c + d)) + i((-ad + bc))/(c + d)

basta moltiplicare numeratore e denominatore con il complesso coniugato del denominatore stesso , ricordando che il complesso coniugato di un numero complesso generico a + bi è a – ib.

L ‘ opposto di un numero complesso è –a – ib

L’ elemento neutro della somma è 0 + i0

L ‘ elemento neutro del prodotto è 1 + 0i

Inoltre vale

(a + ib) (0 + i0) = 0

Infine l’ inverso moltiplicativo di un elemento a + ib è un elemento c + ib tale che

(a + ib)(c+id) = 1

come determinare l’ inverso

basta porre {(ac – bd) = 1 , (ad + cb) = 0}

risolvendo il sistema ottengo c = (a)/(a + b) e d = -(b)/(a + b)

DEFINIZIONE

Dato un numero complesso a + ib definiamo modulo del numero come la radice quadrata di a + b .

Ricordiamo che a = g cost e b = g sent dove g rappresenta il modulo del numero complesso e t l ‘ angolo

Il numero complesso si rappresenta come un punto (a , b) nel piano cartesiano ponendo l’ asse delle ascisse come l’ asse della parte reale e l’ ordinata come l’ asse della parte immaginaria . Il modulo rappresenta la distanza tra il punto (a , b) e l’ origine (0 , 0) , mentre t rappresenta l’ angolo che forma il vettore distanza.

Una rappresentazione visiva si può avere tramite alcuni esempi riportati sul grafico sotto:

Ad esempio consideriamo il numero complesso della forma –1 + i ed il numero 2+i .

Allora basta prendere la parte reale che sta nell’ asse delle ascisse . Nel primo esempio la parte reale è –1 nel secondo 2, per quando riguarda la parte immaginaria si rappresenta nell’ asse delle ordinate ; nel primo esempio e anche nel secondo abbiamo +i .I due punti possono essere rappresentati anche nella forma (a,b) ove il primo punto ha coordinate (-1 , 1) e il secondo coordinate (2 , 1).

Nel primo caso il modulo vale mentre nel secondo il modulo vale .Infine il valore nel primo caso rappresenta la distanza tra il punto di coordinate (-1,1) e l’ origine di riferimento (0,0) , mentre rappresenta la distanza tra il punto di coordinate (2,1) e l’ origine di riferimento (0, 0 ).

In entrambi i due casi possiamo definire anche l’ angolo t formato dal vettore distanza cioè l’ angolo tra l’ asse delle ascisse e il vettore distanza .Nel primo caso avremo un angolo t₁ e nel secondo caso un angolo t₂.

Esercizio

Provare a rappresentare sul piano cartesiano alcuni numeri complessi scelti a piacere e calcolarne il loro modulo e il loro rispettivo angolo t con l’ asse delle ascisse (l’ angolo t espresso in valore numerico).

Le altre informazioni sui numeri complessi verranno dette nei corsi di matematica presso le varie facoltà scientifiche e l’ ingegneria , ho preferito dare solamente le nozioni fondamentali per avere le basi chiare .

Per un ulteriore approfondimento vi consiglio i testi seguenti:

ANALISI 1 DI ERMANNO LANCONELLI

ALGEBRA DI ANGELO VISTOLI

Ecco qualche esercizio per casa sui numeri complessi

ESERCIZI

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