Soluzione

 

Consideriamo il piano p generato dai vettori linearmente indipendenti v1, v2.
Poiché

T(T(v1)) = v1, T(T(v2)) = v2.

Quindi l'applicazione, ristretta al piano p è tale che se viene applicata due volte si ottiene l'identità su p, cioè :

T 2/p = idp.

L'applicazione può essere o una simmetria rispetto ad una retta o una rotazione di 180. Quest'ultima è da escludere in quanto " vÎ p si ottiene sempre il vettore opposto, cioè T(v1) = -v1, e in questo caso i vettori sono linearmente dipendenti.
Consideriamo la simmetria rispetto una retta.
Occorre prendere come vettori v1, v2, linearmente indipendenti, due vettori che non stiano né sull'asse di simmetria né su una retta ad essa perpendicolare. Infatti i simmetrici di quei vettori v i che giacciono sull'asse di simmetria sono i vettori stessi, quindi si ha l = 1 e i v i e i loro trasformati, coincidendo, sono linearmente dipendenti. Analogamente al caso della rotazione di 180, l'applicazione manda quei vettori wi che stanno su una retta perpendicolare all'asse di simmetria nei vettori opposti (l = -1) , che con i wi sono linearmente dipendenti.