La risposta è esatta!

Infatti per trovare la matrice M tale che B = M -1AM, dobbiamo trovare una base di R2 costituita da autovettori di A.
Iniziamo con il determinare il polinomio caratteristico di A :

det(A - t I) = det - t = det =
= t2 - 4t - 5 = (t - 5)(t + 1).

Le radici di questo polinomio sono 5 e -1, che sono quindi gli autovalori di A.

Per t = 5 gli autovettori sono le soluzioni del sistema omogeneo :

=

 

x - y = 0

Il sistema ha solo una soluzione indipendente, per esempio, x = 1, y = 1.

Quindi V5 = {(1, 1)}.

Determiniamo ora gli autovettori relativi all'autovalore -1.

Per t = -1 si ottiene il sistema omogeneo :

=

 

x + 2y = 0

Il sistema ha solo una soluzione indipendente, per esempio, x = 2, y = -1.

Perciò V1 = {(2, -1)}.

La base b = {(1, 1), (2, -1)} è diagonalizzante. Detta e la base canonica, si ha :

M = Me,b(1V) = ,

cioè M è la matrice che ha per colonne gli autovettori di A.

Allora :

M-1AM = =

è la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono i rispettivi autovalori.