Siano v = (v1, v2) e w = (w1, w2) vettori arbitrari;
quindi v + w = (v1 + w1, v2 + w2) e kv = (kv1, kv2), k Î R.
Si ha F(v) = (v1 + v2, v1) e F(w) = (w1 + w2, w1). Perciò
F(v + w) = F(v1 + w1, v2 + w2) = (v1 + w1 + v2 + w2, v1 + w1)
= (v1 + v2, v1) + (w1 + w2, w1) = F(v) + F(w)
F(kv) = F(kv1, kv2) = (kv1 + kv2, kv1) = k(v1 + v2, v1) = kF(v)
Quindi F è lineare.