Sia V uno spazio vettoriale sul campo K.
Il sottoinsieme di V costituito da tutti i vettori della forma u + w, al variare di u in U e di w in W, verrà denotato con U + W.
Se u1, u2 Î U, w1, w2 Î W, e c Î K allora
(u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) Î U + W
c(u1 + w1) = cu1 + cw1 Î U + W
e quindi U + W è un sottospazio vettoriale di V.
Esso si chiama il sottospazio somma dei sottospazi U e W.
Si osservi che U + W contiene l’unione U È W perché contiene tutti i vettori u = u + 0 e w = 0 + w al variare di u Î U e di w Î W.
Se U Ç W = á
0 ñ, allora U + W è detto somma diretta di U e W, e si denota con U Å W.
Ogni vettore di U Å W si esprime in modo unico nella forma
u + w.
Infatti, se
u1 + w1 = u2 + w2
Per qualche u1, u2 Î U, w1, w2 Î W,
allora u1 – u2 = w2 – w1 Î U Ç W, e quindi
| u1 – u2 = w2 – w1 = 0, |
cioè |
u1 = u2 | e | w1 = w2. |