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Matrice di un cambiamento di coordinate

Siano v e w due basi distinte di V, dim V = n, e sia
F l’applicazione identità, F = 1_V.
In questo caso M_w,v(1_V) è detta matrice del cambiamento di coordinate dalla base v alla base w.
Per definizione la colonna j-esima di M_w,v(1_V) è costituita dalle coordinate di v_j rispetto alla base w,
per ogni j = 1, … ,n.
Per ogni vettore v Î V si ha :

v = x₁v₁ + x₂v₂ + … + x_nv_n = y₁w₁ + y₂w₂ + … + y_nw_n

e, posto , , si ha :

y = M_w,v(1_V)x.

Quindi la matrice M_w,v(1_V) permette di ottenere le coordinate y di un vettore v rispetto alla base w una volta note le sue coordinate x rispetto alla base v.